Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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=
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.