Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.