Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.