Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
-N4IgbgpgTgzglgewHYDkCuBbARtEAuEANQAYA6AVlLIDYACAIQgBcBDEAGhAGMEMAHFkgCeKFhgj4QAEWZQ44pEwRQOIPgBsWMDGzwAmAJzlqpACwB2UwEZyxO/eLlOABQDKAVXzEXHgCp6vTgALCBYmXDwrYNDwqF8EAHME9QgAE3wmKDQITg0tHSY4LkC1TW0woviklPS8TOzOLDCgkqamIKrktIysnJAIJGgEoXwbagNTMysDaYM5uYAOBcaw2JG8JxA2tf9W1eghXwBmPaYd01Od8hKuIJYoHhZ1AFEkBLhBkpgETShnQQg6nwCyiIHE7QBrlYhWQ+HI5k4SDQXBS9yhFVheARYJYCQKRXwpk4ADM0PBkAAlUJcJQqPAGTgIOBArF6YgGRykNnESxzcxWI6M5lQ5S4iR4I56czUBZ2IXqFAQAAeTBFUDF+Go5HIR2ocrUmD4hM2fENACsWFwANajUFM9QAMTggNq3hA9opcASJXBT0JIOIFi55gMkrseilgrBzCeao1eC1Or1bt9CuVqtp8YFVh53M4GA+EXMbpCLDAQikcnULL0RJA7wSLErzJrnAAjmhBExMM3qyUEhAMKNyCCjkcFqQFkdjA5iNROAOMHGB6NqOPTPrF4qVcvxZLpbK3YuALKFunkBkgFipMCCLhpXs1t2pOBiZCpR9wzhce5YISDT88DdW57keFk9SOcwJy1GV7ElDc6xAh4EFjTMVzwDcDGTb87mQp5twzUV0JBAw824XCwM6GoegaEAAHcEAQVIsDQKBBjpN1STYy1xRzElWKQHiAHVGNSABJJBTSYUY9E4K1mSQEpiSgIQIjdBimMJUxrBzUhzAvQN7Goed6NE3dV3XfUNNSAjzIlKVYPU0SuDQM4IhlTgymgABhVzYnwNlOFSCBiWUCAYH8/ROA+UkYDUzgYC4Z0kHvOF9L0SCqDHLDDygzyWCwOFNk0LBdn0ZYQBK45V3y0qLiA2rfGuBqQCgBBrWYEo2o6pgHWyFkpxsI5SGnMc9FlKxrEvbqrWYPrASo7o6l6HDByKJ5nE0RRCUZJU4BfGAMUUlqgiEVJ1QAL0LEp1DQQS5HCUYjgMYsyCw6xTHmAwKtu+64HCOy2VMQ9PLu+5/ogWy0PFTDsOjCFPkiA8pxG56Q3mcYTPBO5Bjs2H9WxgEoaI8USLIwpWCQOBMGBXU5yoQyL3mKxZJACnBGppdoeBaZyf+jnMGJ9V0KsNcFg3I8flqSarCgvQKClchDEWMcFylvH2ThhIpaF+Myf1eB1EgOlsxe8xSBlUxHPIUwo0N43AcDEGQHt6BdfQ/G3UNopMWlDdxzMaUJi+kzvZ4JA7P1r3mR91B0zs0XLJTRikBEqBZrpVWwRTwC9E2DAU4ARU7KAVM1XItuYZ4lR/W9aRKW8XJp/Q6xgZEYSQava7CZQAtbgR728hA6J28ABmklrlQ0MKTZM37wfCQC+LUcemyrFk3XZpBAOfNr9tGbFgoitrVJN58YiCdEOM4S1ux76+XZ4VzRgqmAB4gAAZLR4q2aAIRuQQSBMRuiwOoYetJbgBTtjwB4IQz43yQFTIIzJ774CjEfP+XVwqhFge4JAYCOq1HqH0KA2DQIhFqAAbQALo31vCg0B4oaGcFYFgGAeCCGzSoa1MhsDfAFVUN8X4rghARUHPwwqnAGJIGCnEARtCeHfFYvedh+D2pcPwJQ/o7FhiiDAKoJCYE9GqHtMY78PxNB8DihJdim0ATSVBn9cIZj4Y4wgM4YeuB8zMDcS4renMXFh2QC47W6gbJlkEcyY2LjtjQGdDAVQAwhhCF3PQBASpVB8FIUlBAZIRIyLdhEqR75oAOjAcoKwLjWICwwC4pEKIcEeLol47RQxmBFHybIlxPBqwsCsRAAA8q5aAdjBgOJALFRASAmktNOudRIAwXGaFvC4nQeIKhcBmSoFYbk5DhV2JwGac1+oHJACEdQASikgCKJDK5QjvLjxafcx5cQEB8AkZksoOgXF5HKL4Z0UAAgsIgLcTphT9GcEHJsjU3jwjKAhqs5gEB4XhGeMebyqhwTIoehAf50ArCYqRSi3FAKAgKKAWkqAsjNGtKgLoiJCijlMC/ndW4S1iHAtuBw9R7KVrw2xRDblhD8DEieHFRoflkAwAABL7WCsdLRU8wGkOPCnRJSpp6kMIAMMk6rNUQGPPcBJkKNXKogAAQTEXvVIjB1DjKVWFMFUB0Qd0ydkxAZJnBtQSKQmAxq1DutyTAJ19BJWKRvjSOAdd3GBrySU7ZtKByFE2d631/qkl0vaVwENYa9VmoAFJoD4BDBNt8o1hAgK8NpyanV5rCq4MIAk62kM2q5BAzaIAAGk0BwD4NAW19rTX1p+A8xQLTfU4NuHY8oqhwhTtTeFf1c6gg5rOLCQ5vDbjPAwMUCNhRo2+BBSu+NIAFEOtIdwgu66x5In9ToWAqgtCxCZDawE4zpGyJdVM1QZoi0lsEY2tiny22qCtD2vtUAB2CJHS809nBqlU2bgKcgNhzaygMvYGY2IEOcw1lhfUOHBbx25ngKOe7y3hG4VkkFHr006KzbOo9cH6xyAKXSEyLksAEglJCpAcg2Umw3VwIQDSH7LN0DmNkRxJiix1J9eYehQTibw3DcT7tSa831FwLISVGFfn6CqdUNJe48YM/UalkROCQFunwO+9cTpnW9QMPu1BzDDTpop+wxYFiszmU5iOJGgbOz8wsuOO4SOe3MdWEF9moxrLGfpiADy+xRTOR8eVLE6UlHOZzQk64rCkGDlNRY1hogXMwAnYgtZ9Q5aI+FkmAUnb6nmYjbElMM4BXMfwNNJnQQwHkhgcQD8bkH2IFYAr2lxvJjG7KbENzAYzjdDc9TcIWb6huc4IoNpUs3J3iSUhEALo/wwFAB0B2js+iJTiy7cKcV2WoBLWFArnHEYa5EcaBMrsQ0WkQvlWSPiRXUhAQqLVygwDgSUQYLEwG6paqkURwCEp8DgeKL2dF7hDhaqx70LUuzyH2A/PHBRYiVYcAgwoxPoA/Zon0PIYz0CzRuCUpAh17OcQQH6lBbP8xoDtXAPbIAXxvhkd5O42BjtFDah46sbaH6hV9RPYCYD2IlABz5YeNxbog7dMj5kHO3kQ5as00hDF1DEhKKwKlcAEknXuJAK1AD0JugQMbZUIE3io/yhFJ0So0juD4KkCtw59IWG1MQBY1Bl6WmQRASACgmA29AMbckx0TLjz2YnxR06dD4FAHdThS1iAAF8N3sPVIhzHee1HCsiCXxRX9by55APnnl0s6++oGcyJvLea96Hb+FY8MYWRV4L7UPvpeADig5M8940fofvMBRegRQsP5v1e59WAXyJTSeAR+t4Cgv1wMdw7d/X0tcf9ewbXd32v0fowF+D4RuKPfNfN+l/+ZTXLN/Z9LTf4oifUsp+d+tepeR+RsEQL+G+C+0qjmoWQB++IBii0qgIX+kBv+C+YkqU3+Z+beoBSUAwWBaBY+C+FIPKvU/U8Br+deWSTEVadKQgAQ2BwBf+NBqQdBwwJwTBCBLBbUqQne6gBKXBNexeuQvB/BjBRBXg1BvBj+TwghkhiBrBsh6gEht+CBIhAaTEU+GAMA8hahVBohWh0+qhP+ro0hTES+eEKhlBc+GhrB2+qQehph9+hhqQDhJhOBUhrhYBscThnhQE5hqQPh4cHhwBdhvBH8V+EMfhYRgRkRTiEAoR6hgRj+biMRyRrhqRAISRwhgRH+NS6RuRrh+RFeORthgRABYShR5RrhlRqQZRhegRYBxs1RjR3h+BKUEArRuBmhQRHR94DRZh7RyU94nBChxeRedeEUFQEURQmeye36lm2imQ8STeOgSITwVISiDw4UTe+iSxjeiBhQ0AAydEgwjhex/orMhxwMF+xxUApx5xqh+xVgSwVmEmSwde9xjxaQYx4AL87xL8XxAKPxqQ9USeAUJkhxeg1AwJJxZxaQzUEJ+gmw0J5AcJDxCJqQ1Alx5UgJ5UXxBUqiwByJf+vquSOxxJCByJUYhxRwXxR6Wxk6FCuJ0w+J0w1BmgKi1c+qtQyJUJugsJxSbGMAoazIE8NJ+J9JwpsiMA5qka0afJ/xpmdJ/eXGUA7QQ8d0EpypoIhxf+cUnOyA/y4guJE4rxtgApwIpAFpc4wJ4gdiqkSp+x5pCwlp+Jrplpde8ulOdILsQQygTAogppjQUsrwBU1EeAoq6g4qLs+0wO9wQ83Wi6S00ZsZQChQxI60HcMA4ZjCv2tEh0kAKACAmZuZgk+ZNOC4LAHwoaa6LOsqqQ8qIqYqJCD44UmQCAQgdZSgLOLZMZfQyCwUSZGgSKtQaZfQ7Qg44oLs78JUj6baDakAEksQt44Es4kxpeFJKiuJmwdIoAGawwTex0boaA/ZcUnJ+QugoAJ58G55EAdehGleIAt5ze95de4mx5JQZ5UZrZde9oX5LUP5E5deqYgFp5NOdei44Fd5y02QdehiK+MFb5v5A5de1kyFP5xCUxx+mIN53575jiC8z+L5BFqFF5sKbimFhFbM/MFe1F5FD5asYSDFIFCUUSEBpFQFNFIWA4x0+F3FjFdetWz5r5wFf50UhBXFEFQlT2xKrFElj8IxJFYl75m5WwPaYSHwCQ8xow0UTeh5hwghbohlZUJlOihwnB5lySvg9U1l9BTUJQplOJLUvyOgvgxlFcV5ZlXlfyVl8G5enMHl35gVmAPlzeoVGA1UQFkVtlN0ZYLAwVLU4m4VKV/llUCVcVLU9oSVzuzI4VOV6VOVdlsKTwuVpV6g4VqY0VKYQ+WVR44inl9Y4ijBDVUV6Vi49VOEy+ZVTViFZVrV3VVhNVQ1lEJVpkTE5VE1qQ4V1kI101XVcZFy4cU1QSSA4Va181m14188OKU1u132g1lUUR4Q81B1p141hMgwU1V1uKR1t181D141/iYVTVL1UVR17181X141oSM1TVf14VgNHVUsi1rscQTV4NG1HFcQ6VUN41vFAwU1iN61R1KN816NCNKBr12W2NH1uN5W7VBNQV41NyU1ZNR1ZN6VZNl1X2p1TVWKxKG1/RuKkNLNzNyl81TK80lVTV3NJyR1/NC0Vl6ly6uJrMcANhdkoALkpc48el+hc+2F8G6+9AWgRQ7B6wMtrEpC20SxzhcFTFit/BTestutE8oIBtytitrgPw9wptOt8t+t/h1ts+hqtwhYmeZtTtltLtvQj56+Mgx87cix2tctetvtwBrt6+ttwioi4Qz53tEdKtUd/tKd6ipBPUPNZUYd5tCtVtaditmds05BwtDt4diu6dNe0dnCX8pUqhSdFtVdSthds+dd0VudPtzdvK8Fzd7d4J3Ajtetp5ftvditatuyqxN+jd+do9Rts+E9sQ8SOdg9Fds9qdY9C9BOy9fxM9QFc9AdnCi9cS+yA9e9I9wBbFit2e15q9edztG9896+N9eKgK5d99kdCBNd6ibgng09Q9lditPdT9nCv9K9593d45ils+26xQ/9a9D9X9rd6+j+z2JFe9n91dyDnCqDTNAKehGDkDkFzduDe1pK79XdQDBZID6iUgCO/Fd9TtF9CBV9s+dD3wEcyO0A6DAD35/hrDfAPq14EAWx25uKTG8DH9RDhtj5gj6owUrw7w11EjndydVDxDzecjwjsd9wh6kCkjlDBdY9IUWZ/RQgTJ5CFDEd2GB9CULNzwxIpjIx5jm6LQBjw90jV9hlDjTjBBLjcUlj7jgDBtV9sSKkPjRQzjFjsCVjwT/Df56lcUZw2l8x0AKeCt6eU9wA6lausA4QvS+53AvAOhTeT6bU9ApCLAVo7QbUaACQbjB5igKkwZM5ZTCAFToQ1TQQtT9TqggkppBAlqnZQCBYP46gDAlTXTPTLQQU4UcDIA5qtAQQdTEAtANBjCGAtAdE/0QQtAU5ezIQygQgtACAxItAuTYiBTtAb8PEez6o1m5zMAJzSABzqzxsA4JzZzOA2ltAWAbUs0SApAtAhqs05zTASzfSfaLz2z7QBz1utARaQjwUQLvgyCTz8LLAzzqzFOqziL8jOQ5zKUlT8AbwtAQgFJtA56R0tA5eHzf4tA5AtAH8XoQQ4LAAmjgjAKQAYhWtrGXAQDwINv6kY30AdHkCIBAGkOwgHkHoxfmCwBkksYK6OZRveeYhFGsUPpqLOLOJJeKNNjq3Jdfga/YHXsFKKrzkwEPBqzfmBQmDq2TtclgSa464zcaw63XvvAQG0x01UzU7kr08EEwBgOoGJLUEU4NgAPo+uTP+t1MzNFPaleEgBiQUiuAGVNMiBiAzmpvpuIjZuSArlpP5O/C0AUjXj3C0CuA/iIItJHzzOourMDLGzKqpC0DvDEgJ5ku5JbM7OvN7NHpAJgLDB7MIC0AHQ8DGzXOW7osvO5KxDXPvy/PHNkg/P7O5tAvPDR5YuEvaahCGn9tUsdw0uCB0vHNWBMssvss4Lcvfi8tHOSCCslPSMcqC7W7iuKhSv+6B6PRytFM2ugB2vjguvrZYG2zci6v8ryWRAjgbmzMWt2rWs6lAcR4OtLZgdhiGtQfX42CHimvRThu5uqCsshthuPvFORtEfmJJsBHt5kFN73FWDF2dQ379Mzmv20AXvMfjL1uSCNu0AcdcdkG0A1t3NliAijtVszuEv9unjqBWjHNCQsBCDsC/OuQieAKlm0BbRtvIAnNYBmgxZPMwvIIvP7MwDx3T63vcD3v8utT0fyuKuYMt20QsTilqtvtvyaAStfsyu/sTnqs6ng7OgsUbDmVKPih5w3zQDtoweevhuMfcfEfBuhvhvdSRuJcOeJvD3qVMr/AamZ7BcujHkFsECuAx5hK0B2KFBvCJKZstOSBFcsWzOJR8dotrOaA1cJAie8BtBPP7OuB3QADkTz8jr4HcqnggbbonNBc64Lgg5LgwhL8AwUtAykvA/bykXo+0PXlXpzi7PE1nP44QfL6w9nPU+XCemKCrcIzDWDtEYr3nn7qQ0rP74oAX/7Op51vEkH71owkHdrOYDgZrIULAlrSHTe33/3jrf3kQAPWrcPwPBHjXFX6QQbpHaX7UAgGpkbTXaP2XiudeAwEXJXAzIAijhYtAeC/0dXmQWbZPxP10LXDbIQcUPX2AlPROBOvbsLvpMnmL4cnZ0WbblTkaenSgInlT4QazbUpoMZUyBzYQvb1YGnpcxz5LaAkn5nM7R3tnZ3eX9wV3jnAUmwIrQU77T3krL337srH3PAAHS1sct3rrdNP39gwQsBfFJvSPguoP4PHOQXuFx0tgLvt2EM0PNWnvzmKJPvXr2iJP6PqXkg3U2PTAkbjPnw1HOX0XbUpPM55qMX8O/TRQVbMWUydGdPDX3rMXqgvHBAjbbPTwYCdEa3yglLWgxzrAs0pzxITzU32nU3KTJz6n+3YQBcb8KOTz3wiv4LGv47yAQ34LdwkAknDEavtABU87G/cAUANL4U1ulM94uvJ3D7BABvBX13Tnpvc95vXnynz3r3tvrZgXTe4NjWjrI2EokH0FMf+HvvCHVrAPq/xhrv93eTrPcN/0HDe8/+cfFgDX0T5kcz+WPQ3tG3gEE8pCdeLnrsibznQo0JFdPPTxnK4DIAfTUrgs3UCcYAUpCWgM2BIHM82u8LPgJ4igCkhxmovWkBpzM4CQlmLLAALSGUOuV5QlhL32bj9wWJjSJuPDW79QtmqzUTvjgi7H8IAp3SQFgP8gvs+Uj3e/lb0f7+dn+iiMRs4GgCuAQU74UpooHxzYCgIFAXyjnjwC8CgeerfAA4Ig4IUgBN+N/pEDXBYcAKWINbPDzD6/sWYRwODv/zB6Id3BoATwYnB8Fd4/BEHMAW63D7vYQhsfcNsQIkAIDw2ag6AJGwyEGJckOXKYjOybyRs2QehNjpIHNTqBkcmLUdKwFYiS1b+h/GGCNC8pjIbcoIUVGL2OggAYCloD4BDFoBDw3gpCRsK6hJBlpkAiAs5EIAGFUxHoW5ZRF0ULapQlhOxRgn0Kj7hoXY0ITPEwONxoJz4xIAYHFEaxI4recIeLpIDKFjZkuGPRrpbkja3CCU34XhqDj4DrATKQ6C9B52HjnEPOWgnztbz87vdFKkbEIRULIFq1uIVKEblJ3trNC7w4oSgBMHaHMAbcnEKYb0O8j3BBgFyQQGW337TFOiqgboR3BmE/g2IKBQQKoHJLLDBCWw+ZF73WEDFJAyBQmoIj2FN4DhEQJWPB1OEwxLwb8S4QmGuEEAIRdwrIY8PuDPDIRBid4V7E+FOUfhqZfQf8LVEDlb+H7HQTbz0FoVOAkbDcFCLJ7eQUATLZFFTH9QHQWh+ANDOiKu5LFyRixEAF6i0BUxCR26YtKQjJHYiZhWSd0a+B2H0idijI+IsRTpHhQxGmw7QlyLCD7DmBwIEyOa0FF2i+sfaJaAsHFEgAjRUos5ClxmHTEoAzw40QqIQZKivhJqXkn8KxKAiLe2g3zm9xoqRtbAJomcl/B06rNFMFpWvgf2RHWkjgoIOnBiIVrOjMQIATtP9FYwc5hhygJgeqAmETI/R4beSCsSAT+oQx94RkSUVyysjEikgYItemmKOjQAvIk2JKAFEs5eIssC4ZmOzEti8xJHJPgQCLHPDWxZY++hWJVHVi/2GoqBlqM846jGxT/A0TmOLBtjJA9AD+MMPaS9iSRWBCcNqAdGdDJhPQyQKqjAD/Q9OIiGRNmUyFLiehMwguJhN7KRjtiW4yQJYTAhkTox6EnxACDjEni1AiYyIFbEvFnDIgg428dLA0Jx9I24E+4c+N2Gyj+JeYiBrOUrEGYfxH3P8XWLv7AjdBYI0CZGz1AQSyuO/amNaL7GkjSMFsZCfpjHFIAiJLuLCTsMMnoSTJvZKtv+BfDHd8Jm4lYepOWrXoHJmwrIpn2ElMSzxtoY4amPezCiMxtQLMcjwlGqTBJhYp4SpLEmKikckk89JqNjKyS/2QIh/nqKUkUUcxAoOcHcNY5kDCALMUWFW1xD/RLccAJoZ51tH0gLYl4YcY6NZiGSZhq46cf6nMkEBJxa4mcUPCgDzijoNEhkZIDqJ9SNhkgBvGwASjcib83k1iXWBTFXiAohgbiTJHvFZSwp0ol8ZFJWnRTyxsU78Wan/GJTaxyU+sQpLSnNjE4HINSSAFIJ+paAtYBYHBMqm6Qs4tUm3PVOXGPs8RNIsydiMomfSCRLzLYtpLWEGD+pBAdwJFSGlsiCA7k/CceITGHD9AbmdiZFxhKLS4uIUzKWuAunhTw2r4yNudK2mfidpk8VUftL6BJSPuKU3UaCObF5wcwl054FYj1wvNngcgQPFTAen9i4eNg0oPYhtybAGp4bAMTAA9HfS0JBAN0SLKDG0AvRO/eyVGNBlMj/MkM/cdDK1bjT4xPIliYYHQQhQ/J42VmCKN/zSlrk4bMoShkfEFjcZkUumYTKYbEzvh0k9UYdMpnHTUpNM2SplJHD0y8+I0y0LQFDBKxOZOk3SEjN5kdCDJ70ggE1I+Ac5fR4sicVONjlPMupPUxcQ5MZEm09xmw0aYxPhkRBtIusk4XNNYnYgjZtQcwMtO9mWyHh60kSbhx9lvDtpEk3aWFDJmMgXZ+gqmcBP1EZTI2E0HKTeTIEOgxItAQgDvyUbW5g5WBXSAsBqmVxHRdYQWZIGImmT45rqaGZZOwk2S8JKsxkTAWZHOZs57IvGnnK1kIyWYmwWaRxOmCvxAptoe8QPNeH5ja5wk4sf3LGx2yPGLckmU7IAkUyu5bs6mU2M9llDZYPs3KWT2eAAAtWgOag7DgxypNormeNioAVQXpo4qObMPmHh9UJG8rYTgul4jCfUyg3qXuMZHNFx0Cs4aWrNYBAgNZXkliaYECj/99ZtsNGSzHvGKZ+QNcoSXjO4WNzGG38t+HFNJk1iARR0+Se7JAVX18ZJEQeS+TIFep2oi3aedeKmD6SnRWCqkfiKDHryXRuI6kf9KJHwB4J8s8iY5JACxjj5BAKiUhQYX5zM4L0ZGWghBBoz0SGMuRdMF4URT658i5+eJJEWtzfhv4zuQBO7kgiZF4IxTGOAUWVCCAkeYYUIASAcykRIcibFGAwUbA8FUyYySROvStSQAGE0ydZNwl2S95kgcGTUhVmbDMCsMiaaeO1lzyXFSMMuffMiB/4+JMS+UWtLfnPDulX8wBkEt/l7TxFCU0VkAp7npSjatw6UHErIHmo1FtoC2HWCyVdCsFws0WfovHGSzRZMs/gHLIqUEAORu4kGTQpADhjrsDi8+RECkwtKMod80UZXM8Vsg5lz8p8b4vfmvLVpQioZcqJGVtyxl7cwCZbymVnTjIAkyBTOQnwAANOBTIjajiBA8+E5BekpWWaKBZWC06IQvwmFL+hSUBYas2IVjCyFZyiibQrQY1KDxIA65ZNJYljhQQ18yLhHjRlClTZNw0WK5h8XWz65EKwZV8H+WOzRloSiRa7KkXAKQJfciMFbHmVk9XAYkNwJxzzgGBeBSyjpZOE0XrLCJK4pOeuO2W9D2pzU2cd1NFDpzqF5KopfRI8muSBpgBWlY0oRkoYi5+sh7GjIMBcLawPyj5Tyq+Wer+VHw0RX/IOmirAF4qsFaApHBhSoVkgKQHCtxFEskFQM9RVOE0VLysFMcvVTkvHGGrk5xqtOd+nIUnzORNiy1U/jPl0qEZzCw+HrJLmvF+4oo8bPeMjXcqZR785tQEpik/yhVgKkVeMu1GgrIlkqmZTYFeKyqZyjMw2Hpwkgvg1VqClNeHJHHZKCJFI8Njoq+n6rfpRi6WYDLMVHKrFUAktVnM8mOK0EN41hSXLZCGz2lwU9lRKJHUTQcZra54fev9VfiAVISmSWEtjIRLFJZ0umJdP4Sa8HkhQWdQVnnl8zR4y8ggKvNIlZrehxSqyThNslB5C1Tkp3iWsPE7C4ZNyukJ9EZU1qOJ1gO2O0rZV8SBQXqq2U+vxn/qPx9srtVWOFWfqQ14SyZYOt7kzK84pY6NYM1A2FZVlC8m3Gmu1UfSt1tIuDZut0WEid1to1DSACqX0US11i49ThsazVri5HEyCFeobWdKzZnGltXXK+U2xX1DshjT2qY19qQVDYtjdMrrz4zP5l0tlrAuA2Jrd172LkJqrg2NTdVcc8TW1O80py5xpqgtWSssWDSS1B85WfauYmOq5wLSscPWt/weLb1mU+zY+oM3PrUtTcomfRqkmMbnZzG79axt/URrR1l0yIkIHCBIB4RV8WdfLGegebl1uS8NjBoKU/TN5+Sl5kht3myb5Npym1fXzoqnLsNFaiIGGDi1ITZyTyptaVrS19KWxM2rLXRuGXdqP1+WizT+tOmgKIwz0MdQeIGR5xUhFAAANSyY8490tJTPPlj8aINGETzULPVBSyxNjWnZQ9r2WyyfRsmyhQmn62lrKVUWqaTqF8klyxwbShtaYA9U7b3llG9LWUIyjYzFtwiwVaZtW3/yv1EysNdZubHTgH13GicX0nCD/hqtluWrXpHQUCbMFwm6DVvLFn4KEN28spShpC1hiEqVKpycbHLUOqC5Hkc9RxPGibBy5/3e8djv01zbhdHa5uctuR0WaAFLGjHcVtkWTRvBl081HCtPDaYOcPAYtC5senywFg2ILJZisp02dRNNOgxX9O3XEiZNTOuiYEPMW0S2dTyBpdFtG3jYWlVsUOCRuWlWwelL8vhRtO93Gact8U4FTLsK1y7NtsixTLBEulSABkMErhtrpQXDQeQqau7SvOp0br2tJSrreUtk2XLcFIW2pcDOG2c7zwqMnnUKKVGij3VLy0WA+t6X8K69geyXblrM1rbgVG2j2ZHtrAQKh5ZPKQM8BQBiRXAnHJ2LOuGiiwGtUG7OB1sz1FLqdpS5DYsOt0EAHCrO0tX6H+0sSRwamvyXzo4UX4ulPekXfwuP3i7stLe4PUCrklATMdoC2WEYF20EBCA8IcwMC2QDtQ4k4+wOFPqxVzCCVBevFf/sGFELkAJC8YcFozmUSKI9iwvX7Mbxb7K1IQt3a7sm1LRnlyW/GSGHfEN6Np2B5vUjtb0o7g162orRHvBHjYJYl0kSGblH2R5v9MwDFWnqp2z7fN8+jrYvu60r6N99CuAxSvkqIGiwjgN3SGA4U6aOVk0OwFDtfl4zKDUh2jYjsDV5bUdBW9Hbfvl0UGJg5Q32Txou28RJgwhhdY6K1UrrJAGanzc9oNX+a81QWlyeassVfb19ucwQ7hr1Bu6tQHC3iWbOmDMKT9G0rQwQaUNt6VDpB8PV3vBFagn94AQkYagBBVanmNWvQ6MBkyZLydWio3dioAPL6gDOK2caMNIVmqLFjIsLXwZACYaOdzu88G8Qr1wgIwaMm9XxMiPSG/dIkpowob+VBHiD5MtHf2qs0aHlJ42KI7wMggAAGmwJ9CBQVSUFkwOo0YZtxRhp95hlqW1sTkdSAtJqhcZAfsMUKg+6+mGRUamnmBRDNRjCMvAF1w9lpgi71VRsGPn6lthBq/b2o71kHwjAxwHcrtnWTB4Qmit6Ubpa2m7xxdOzrTvNz3cHlC6+iLXARcNwhudTK+aQFIbVJayN7x2bbIZRMI6OjwS6XT0cs0nTXjUq6VVEegmTQjgvAjKJ8Ytgmg0jJhprZIEyMgHcVKx/FQybyPgHSVUBggM4dKP7HoTGwKUPcvq1oHagpG3TYSeaOfL+lYp9owKs6PYnVDvRvE1EuUnmA84RJ5wLQDcxWBeBI4Ck9KFT2WGvNaxufTmvXE2HNjdhoo5UohklquTJeyo5qBYVwmEwLMDhUibNkqmcDvuiU/xNVN3HFDWJkPTic71Km+5LMGElEfNQDJVmssawOQFVVJHWJekfXWkd+OmGBW5up7YUsMWSaAZlu/sXnpOp27lhOcwswcaYXl6nTg40Hb/kP3eGIwFGmQxtPrOBGAz1+yReofIMDHuxURifBcmwS0BXMFwBM5NA1VzGKdaZgNIGMzMrHdl0s97UWdDE26qK4W7YWWYRn6QgdHE4wNWeljg7PFBUq49Drm0HmWz76uU6EY7P4mZl+By6d5G8gDmdTw5ygCnrHPpGJza6/6XPuzNfSTFSavdfnuX0/bHDvJ1zFfII0oiPDQp4EPeJvOonIpsFjEzKdbNPGb9A6/oxeVAoxxLcWtR+POwzaV8yBiUPC/mzlVPweOczA8WReubIIrEG/ageZx0DRYIoG/GRGtyfQdlqLvaPvqxft7gt9mqIZi6P2rBAsg6xaaXlOR37XNJWBYN4OoGOYXIzgKQLZoGSCCqcpyxze4Ks3kDzjKY4LD4L81WBKX+++lpEOLlgCqdROOAcdqEFSByWlBKg6DVhfuAjANBD3F4yGb6B2mppzqi9a6bcEO87Weuh1guCgEYQEhYAzwTtp1Yg8ABEPW1gjyCtYcf+vhrDpFY5DRWMZRF5+L0oLAKXceZFgoTRzdBloSBARfbF6FlaNMCLZPLbuMPwnxKQAZ2Cq8vrr4XL7gA4XfgjGuZkWYAqnJq3Vb77UDhc3XBi032gDXN4ynzTi3wC2aaXRUpCFFiEGObL9VmBcagWeMV4vMsrCeVTixHm7UD4AKSuAKYy7ByXrmzfaAPZdP5ggnLZcVy2obQudnYyXl7fS0o90NqL8vFpvH9XwChhgrx1BIpqCB5YckhQQ1IT73NbhDABDvH6/SHBuOsoezptDka2SFZTQhcfWq4zuuOOW8rmN5fU/G/klXUcbgqAJADcj4XmmZAmBGTeX0NWupNNlFRRfr4hBjVDNx5hv1oAFhUgvA+AEdjbbBcZrJnay/eEUCLsreqnd4JABeb/QnmpZOBBvzOByA9r4UIFkJDuB6XwWXJK0LO2svqaCW/0Tm1U3CgIsZr8uGThtf77lyWLbbDFu21EjTXJOTAuXhWm7asQ1uKQDETzyCBXW7OuV/mHdfUaG0FT0iodbyYqhOmEtPE/yzqVh6ixwroHH7vHejjOTjochjK2EP94O9Y71AJO04Lh653HeJ+DpRLHRurrlADN2bX7bT7U3mA+NwoYAyJvJttgKQbTD2jiiFMCBVfLYIZZBRZBrcLSBq4vSUveQ+77d2vkzZAD8ch7RK0e+Ndtu8WzrHwe3MG3Hi7X1OAgURJ8zOZC3MWTQLaPeDbYFglQU1s8apyZXW2xbaQIFmJD0t98eB9TfgaxYFu7W5bMnWIDoSmurAlbwybi9NwD4+2zuVd5y6oDN64mQ77G3kzYBaUCg3V0dzVnQsJDpWsOT5KBMjdmGHzjog4tDjFahtxXAOCPT6Gg5Qf6B4bjrFGqeuwcYzm7vdtu7MiPNV3I21D1u/3YTQE2G7CpYm3ezEtioaLFNwgR9O4cxleHJFmcriMEdVthHvvVrszaJV9J+Y4zcrr2nZuYsZAet3gaWHLDTW174LUTrMRV4DwrQHN00ClF2ZC3/o8I34B81WCWhDH8uI/gJxZs6B9LqQf4Sty0v9cWbMAZvpfdSBn3hYSjEayzeJAe2mA8I9YrkmNgFQsLxzFx2cQAcrzbrLlwO6+2DOh3lNI288LvpLk533FcDm/IjcB3/WRKhIEDrVVt2jYPW8HXB5EIBsRiNgpDsAcU4wilOUbQQ16Onbj4/hBHAtyu1hcjZdP5HPTrPuw/3TE3EmluRsBdhvyZNdiN+AHLn1x0rleCIda9NjxYCMiAAOmUbHYo5ZBdFglkrzojq2pL0+bTnAFBb7MBgunM5hr135mgKSgwFTmp3BZHOlec/Fx1VvBaVMLkcUUgH8/ZsQg+L7XeFr+mYv7McASjKmG8CBYT4WAV0UlkWgVv9sixvV128pbYxbNjnc/J+JVxcde2N+Kvfbrc9oCDA6IoUO6G22aRPBYW/fYl4OG9FaWzOnju2rvws5iIMA1nNZ5sMG5NkBgcltSyzebbQBW2e/aPMba34S85+lt5TjADwC0AtnbLHtitfZ6rN5rMnYlzi0m6sXR5JwiToC9du78LkJw9m14+Hhrsx2hIq5xv07bjXMWyubrka9Wb7d6XcstTsyBfDQvaA0qTxMbFU5z9lXGZTm8wEPYaoYsR0J5qPPaABtWWaLhiLzlSCkAtnmSe4CwE4IgAtnoloYQdD6RMgLBpLcQBfcDfR5nQmE0lloE5vIhdmJCsIIMBunlvR5cbyrsq4uRcJdrIKMHmzyJcUswEcwu1BpdYvEvgoS+hXhL3ECqdR5YgGXhAGx5pBJOkt1ZlK4zLy33c94JF1SHVLtBE3IAZN+qHqjpuQAirzXtsxV7Kv1ixzFd8bYl7aW00QbybhG+V7jN53aL/ZlE4UvHN9uF6el8eyOcDA0Xur8ZvsxxYQsnmgrVZtK+0zHWbk7NwYCokOgqQgWh73fi6+oHHvH3bUFvrHl/fVuF2XVnAPLlWaYeVIezeQAu57akIN3qli++W/tcb8nmxLpvs6D4qru+zxnPtmO9oANuWw1F4eM+5Zvo5O+Y7RsFyWTTz8ZLR0Ldzu5YDNR93h7h99O0N4nNfXHN0l2c5OHaOZObuHGB8zNvEulE6gcd3J5Nz3A22xLwYCqCku0Ghb+zK0EAjog1APm/r8Tu2xrLnFx2jQ0lhq5I9v32ud0PAbADA9P3eATrs5qIID60A1yaARhIbaXpPBvP8LNx1NdEGWs/PcUOV1IHuCGPDUuyCT3exP52c+K0ATfck75Rx95n7aXA+1bhe3JS3nZOCZeY8uMhi0VMTEEiGrBmsMvWXyKH3pnLpf04wLAnOPekd9DuGfrntro8lZLMePGAStzQIy/9fdkaL5V5aA7Byy22/fS53iKH5z9UPe/fAivyLR6cJ04LAABT6W/mNjjEQAEoEPY3wkVmVYtb8AyLfKQMeHZuNhCwa3ni4SJFGsWDbenXr1aF4GdfoAPNvtElFMYm2kWKt6U3D2Gejw7JDl5quxCK+gO4+gedOMD4TTY235kz6r+j6tCY+6vj1q8418GEtfec6gBChmYYZ03qfv53dfQMGY0tXIQQFIDdMMn4vMWWZaAKu9PbjWlA6OKlB46de1vzbzA1TmIJJelkIyBLfZrOc9EHKFrDjiABpeoEfBYPXYbzxAEktvImB8AY9v31CguRhfklo5z8FVfKBV3Av4z33zOA2O12IQSS0kgLAq2GA7bskMF7haovXnQLlX1vfGvKs5AB7MQWdf254thG/XK5+a8F8vcOba1sDxw+c/iBxW8TggOZNJ/NfjoGUe6xjI/N6KKvdKKr3ojz9PbUn7G6QlOZp9KLXtc5xX4zaG/8dG62nGy3PaZerMhPCrft2232Yc/JfRvj37pxeazRp3DvofuW/Uv7OgWAyPgHr9ncS93cA4AV376W8vMweUbh6ODEJFjCvP/fHvuNacf4IV2WjI+D106JsQfmwdGkKxGNttxbgtH/tuwylQnNd+Tqf1Aj+uvp/3QTXxYophz/JbNl+fl6Y+quPnogABpfu5ZDqwlMAaEqOhgQpZGRKmAYkqi4q1b8czJoSqsmSAVMjdcttolDKU2nCZKks3wPgRMATzjQRoA1zgS7jM14LeCdEOtsuhDsiQF34Eu/Hk8zlI8kKSwiCQTq5DX+i1n75Zk9TOCxm2gHlkA0urFppayCFArwDmuLFotyrMZvtRaaWJvrvw4AfZr3yp+lhiYjf+mIIKao+4bPSYwBBfiAFlg+gQXpl+NmnJD+asASaadSgWuaY7CKAe1z/Y0aOzwCAwgMB7ts6Hi8xnirAop78+LNh35KgTAfCwfAb8Kt7LsMvKcwy2qnDvbVg8SFrwBkbPPIG6ORaDpavMkljWQ6EQLP7hQ+sto4zcMbbP36y2XgVoDwAK/O94s40QX2x2u7VmB4Fw2pJ/Zto+IMgDqBn/m8hk+WfndwucfQHHxLGcFpV5HYeiL0HB2EquX75gGerjpAmnBqCYOBqzJME56LthiwvMU8IIAp4B/CJzp4s7oZKVBNLnbaxe+3OHAdgHFi7h+B7fk8Cd+vAe+42uXgd5y/Mr9m465BHNuHDBORQEwCqcAZE14jWgni55rciKv2wgQHOBcH++u/Ne7HB8eDrYau9zICCqc6vrdAeu3XEyhuuWlGW6/eY6HkyAgpbJkDic6gC0E/SGfosQqmf/nHz/GfQYX4DBZYMSHDB4alfTHBUAK2ywBQrrSHKAbbL5B2og3izzwsHPvF7dMw8EO4ycGAJZzwetAGrbMgqzIG7Ted/vCw2e/wpNweBMQFJZXiJ9swK+BjIQgDa2/bGb5KWAQU85xQa0LJYaWWAMcH9sctuNaMshkr/ZpBu/ENx9oZwEIBDc1zAgqMIXLMr6Q++LE8zrcmzMS49u1LgJ79sDISK7iBgbuHDHwLnnP4WuezEIB9oF9reBEe2HnZY8seXmdytBWgWJQ38yWjSF0hhgUX5lg6YUyFE+fRk9YPksjFD6vAKxLM6gA5HjvztAueIfTqIV8Lj6lMHtLHgaMvqGD7Vh0UESz7sMaExB6Exbk2EyMkKPwDMChqBsTqAsLiEENhMePsTW0RYl1zS0V4I2FThhdBFAkwUgNbhsOE4SW4aMxwDfQbhfYdbTBOjEFABWAq4VlZ60oAL2H7EV9AeHKAGUCeHrhN+BeE0Ua/ggCwMu4YuFj0M4dpR10meI+GeyJUHeH12b4TRRNQ34UBH9hiaEIA+MYEdbQeUAETRznhC4cBHkAx9BnhgRV9E1Du0pnGWHzhk4RoxsoozE8BpINTr+HW0TKHBFnhOEZuGeyoNiSjQAfxCRGF0NEa/QD0DEfBRqklYZfCW4EpOxEakQQEKhz42TBugUeouO678RS0IJHFem9KCKpMsAFMjoAZlhkxNMWTC+TQAxIJrRQRN+K1aKgLArO6a0Mso4ySCKUD6FWWQPMfZsofSNADqeyAGdbawJtpJx5wAAKSRi14BoxhMkEY4w4CE9ihHHMETGYxU8x/oy57s38HR4UsbkdOwkw4QVYAORtAMd46Ax9rYCXezkdQxE8jjNEy3AH8Jh6r4rVkvge4bbL5HOMe/AEywIl7mOzg4PHk34pADzCEHhA14FNZmemtplFJRrkWgCOMi9BpGgArVqGh5BbbN5H6RvjEZFzuY7Ii4S83IM37WYs7GIi1R+3LYDWclTMlEboH4B2QnwnkUN6qo1ArwIAAfLQAT46oLrhcATzNP45kQLOai8uunLZgjuY7N2BsQ1lsfBdkzzr2SjcV9k1HgR7EMSDccPNGlENMUjvMwSQQUXFDd+LNtWx4BvFlNbcctADzSFRzJLsQboLkeBFC0lVH8StWJ0byERacLpTy4idCvHS0AvAgJxHAZbMJw80z0dbQXhDoMoAFAK0fMzIxs7vKSTh05KLbyROALvykxUAMTjaURMUuG/IX0TMFDW1ArZ6j6xAEywoQcIcCyLoYoDAAAAhOzEfhEzlV5LOsXB1FeRmlgaGi+R2hx5NMFrqdGt8u/HWFVeezAIgwx80dcgPomkRPZUxbbEWxohVzOWzo+VbDWzsQMURbGXMpbJtGziQrIlEGxzYYIDa2FMVUKaxNMSW50x4LOWxIA3sR7HgRiNgrFDeOUQOBtsrgEuzKEknABbyysMdbRDkEALWgmxDfizZOoAnAVA8CJ/jLaAg29iEAvMyrCkCUYMUToCzQU/Euxm28fnrFsI7sTwgpxhdKkAYAWpKiE+xBAAD7zeC7PCx8xYzC5Cdcs7pbZPegLFLFG0acT2R4U30ZICyeonHdBpxLgeXFz+RJOczb2XYFfbv660VtE7RfSMgj7RtAIdHl8s0TZYaMxbnHjjwMAEyQ6kSMQuGBxTzMq44Av7kd6jeR7lx5JoBltaAyBaLuIGN0oflOz8WmUSS5W8mwcoCnxLcWPSkInXFMjZBroV3FXSwOBxH+ROQVL4t8T7tAnhuNFlrEuh14A76DgECYbFZkSoCYLhwqQOu4cRCCT7izug3GwgQAhwaLYUJvEU6HzxhInzEVhvEZzZhQm1s8yruJnFvwnClbPtxFkcgsoBZA50cgCSxYcTBHIR29NhFIxmsRxyMsKEfEhyuOsUdjYxW0dYHrG+anYaQJRtOIBrWQgBlFVMVCXAC+4bbNKgrMIsUYkWiVTLwHbR2bNx7xuzPi8zihuzNoCMQU5Lvx8x/fB74Vud/mz4pyzgJ4DSJjEcl5xxk/Aglbsd/lfDWS7LnkaHBF6JQHDwIUZrwS8bnJVyYsE/NwyEJ58W2ivhmcZTF+xbaPspcA4sQiKkhqzC7Hy+LMnX4TxC+K2FFJkgJ2iSsM1sS4veuCSf798yri+5cYb7pJwthIKHkngRcUHiDjw5qDIiRJ3DAgliklXKqal84yYoDmhj/p1pcM1AtPHBiZ8eBFMRAKNJgIJpDEMKv0TzHjH98kwJUm4+mie/ocG8wYBbbJ1tCxCOMYjvI6KORoM0kEAXUScLMhcjnQoSOvaHaEW2rFkyojJ1tG3EuomeK1bMsK/Gw7jWZUdsyksT3gEm7MnSdt4fxwbu6Ht8d/nFBoSYScYwWUPjKGg44kcfMzUJAMV2LkAAAPS2AhtsfZ6R+UX4wMAdTA0mTEReEAA=
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.