Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.