Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.