Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
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
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.