Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf An Invitation to Applied Category Theory

https://quantum.country/ https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.

Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b". Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov. Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]

CNOT × [|+> |->] = [|-> |->] = ako je to možné?

Toffoli gate t k00z = k00z t k01z = k01z t k10z = k10z t k110 = k111 t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.

Uncomputation: kvantové brány sú reverzibilné dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť postup: urobíme výpočet pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov revertneme výpočet

Hľadanie: začíname v stave 000... aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit" skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet

Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý, dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2 druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2] dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2, druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½], [1 0] = √½(e0 + e1) [0 1] = √½(e0 - e1) takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1] pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01 00 = b0+b2 01 = b1-b3 10 = b1+b3 11 = b0-b2

https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE vývoj kvantového systému v čase

.

Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov. Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami. Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C. Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

[1 0] = |0> = qubit je (klasicky) vypnutý [0 1] = |1> = qubit je (klasicky) zapnutý [a b] = a|0> + b|1> = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý. Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†". Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy [√½ √½] = |+> [√½ -√½] = |->

Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

× [p]

[q]

[a b] [ap+bq] [c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav. Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx

Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd]. Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov: [a 0 b 0] [a b 0 0] [0 a 0 b] [c d 0 0] [c 0 d 0] [0 0 a b] [0 c 0 d] [0 0 c d] aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov: [a 0 0 0 b 0 0 0] [a 0 b 0 0 0 0 0] [a b 0 0 0 0 0 0] [0 a 0 0 0 b 0 0] [0 a 0 b 0 0 0 0] [c d 0 0 0 0 0 0] [0 0 a 0 0 0 b 0] [c 0 d 0 0 0 0 0] [0 0 a b 0 0 0 0] [0 0 0 a 0 0 0 b] [0 c 0 d 0 0 0 0] [0 0 c d 0 0 0 0] [c 0 0 0 d 0 0 0] [0 0 0 0 a 0 b 0] [0 0 0 0 a b 0 0] [0 c 0 0 0 d 0 0] [0 0 0 0 0 a 0 b] [0 0 0 0 c d 0 0] [0 0 c 0 0 0 d 0] [0 0 0 0 c 0 d 0] [0 0 0 0 0 0 a b] [0 0 0 c 0 0 0 d] [0 0 0 0 0 c 0 d] [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí: [...

.

X[p q] = [q p] X[1 0] = [0 1] čiže X|0> = |1> X[0 1] = [1 0] čiže X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi] Y[1 0] = [0 i] čiže Y|0> = i|1> Y[0 1] = [-i 0] čiže Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q] Z[1 0] = [1 0] čiže Y|0> = |0> Z[0 1] = [0 -1] čiže Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2 H[1 0] = [1 1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> + √½|1> H[0 1] = [1 -1]÷√2 čiže H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I YY = I ZZ = I HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

. H = [1 1] [1 -1]÷√2

[√½ 0 √½ 0] [√½ √½ 0 0] [ 0 √½ 0 √½] [√½ -√½ 0 0] [√½ 0 -√½ 0] [ 0 0 √½ √½] [ 0 √½ 0 -√½] [ 0 0 √½ -√½]

.

X = [0 1] [1 0]

[0 0 1 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 0 0 1] [0 1 0 0] [0 0 1 0]

.

Y = [0 -i] [i 0]

. Z [1 0] [0 -1]

[1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 -1 0 0] [0 0 -1 0] [0 0 1 0] [0 0 0 -1] [0 0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC [1 0 0 0] [1 0 0 0] [0 1 0 0] [0 0 0 1] [0 0 0 1] [0 0 1 0] [0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli [1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 0 1] [0 0 0 0 0 0 1 0]

.

Superhusté kódovanie https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi

0--[H]--[C]-
0-------[N]-

[1] [√½] [√½] [0] [ 0] [ 0] [0] [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi

00   01   10    11

[√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [√½] [ 0] [-√½] [ 0] [√½] [ 0] [ √½] [√½] [ 0] [-√½] [ 0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.

[C]--[H]

[N]-----

[√½] [√½] [1] = 00 [ 0] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0] [√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0] [√½] [√½] [1] = 01 [√½] [ 0] [0] [ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0] [ 0] [ 0] [0] [ 0] [-√½] [1] = 10 [-√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [ 0] [-√½] [-√½] [ 0] [ √½] [ 0] [ 0] [ 0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b]. Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi [a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE

CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie

c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.

Motivácia: - každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov - 2D súradnice - https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula - https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky. Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť. a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i 1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u) # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360 r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v) r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v) mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2) sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i každé číslo má tri tretie odmocniny sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad: e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ... cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ... sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ... z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360 ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1 ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ... a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i) Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.

Užívateľ:Viliam: Rozdiel medzi revíziami

Aktuálna revízia z 15:54, 21. december 2023

Navigačné menu

Osobné nástroje

Menné priestory

Varianty

Zobrazenia

Viac

Hľadať

Navigácia

Nástroje

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
-<nowiki>
+https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
-N4IgbgpgTgzglgewHYDkCuBbARtEAuEANQAYA6AVlLIDYACAIQgBcBDEAGhAGMEMAHFkgCeKFhgj4QAEWZQ44pEwRQOIPgBsWMDGzzFOABQDKAVXz6QxkwBUATOc4ALCCya49Tl26jWEAcz91CAATfCYoNAhODS0dJjguBzVNbVcE3wCg0LxwyM4sV0ckgqZHDMCQsIiokAgkaD8hfFtqAGZWgEZSABYATltyYiGh8nJ8128mjxASybtiiegha1aFpjnutbnyJK5HFigeFnUAUSQ/OHqkmARNKANBCHV8Vu7OcVLHo1Z45CSkNBcIIHb5pP7THR+OIJJIAMzQ8GQACUXFwlCppgg4M88N0ABzULrkPG2YZk4gAdk4WPU32ULD8Ejw1G6Q2p2JQEAAHkw6VAGUyOrY8Wy1Jg+M1bNFxQArFhcADWSRpADE4E9shYaUi4H4kh9jvgOnjenjSL0KeThp0pSADbT0QL8CzRfbOTy+U68EKRRYMJd3H1PCwwEIpHJ1DixiALn4WOHsTiLABHNCCJiYBORpKMjDNdq2Uh41oU3pl8um3qcXOexnO1kWXPu3mOuve4Wi3MAWQDGNa1E4LGCYEEXBCWajnGCcDEyGCE92BywQnqC+mewORyjg2oFG6pYrZY6A+4+0OCGOtaZLosG/Px2bV6NHdvZ635SyVTyIAA7ggEMEWBoFA9QYh0FjwiB8pMrakFINBADq/7BAAkkgfBoEwz6cAq2JIHCUBCO4Fh/gBzq2PipA3la+KcKRwRPsyDZ0chj6toKL4sQBXCYd4+CspwKTQAAwrx7jRsEECwsoEAwHx0yXPCMDEZwMBcOqSBjvgFLdLutgUh0B4VniFInpoWD8RY5nzHgrSCSwWArEk1mbNM1k7NMUAIIqzBJF5PlMCqkQ4q0lDkL0rSHoedkgP5CrMEFTwfpUOTVJwewQP6XDHAYmiKEa1JcnA04wGC+HTI4QjBPyABeAbOWg8FyG4DVNXAbiMTegmNQc7UQGx9Jtj6rrMPsVwQqNXzsfWI2fPUA38kNnEgPErBIHAmBJKtggbRgnXMSt7U7ZgC1esNja3Jq1aXftnaXadS2+qp2KQBiFjwOor23e9L3QA9HFPSAH0JOCP3qCDSDfc94M8Kg3ItoNAOuv+SBIVA8Vve8KNrn6KMAIpplAhFJDE9RMCcXLZSO6JJCOPGbdMMCAr8SAU1TrjKNcAhjsJCA/rTdRYdM3IaDJmMgOoPXNRAOPRIL8YRkmnDbUgssgNVWJXersnhAgRHi5JhSguL8oZhz4tqQgmFc9BAAyWgqTM0CfIuSBIKD+TqHz6J7NcPCHM4Jtu3AjjYubSSScpUBCxYUCyS4AcmEgXs+dkuQ1HHymbs42QANoALqDiOYdYEE+AF8rDkwEnKfxXnsXx9n1gOaoNx3EYQhyZlzcWYXDc3MBY7V8n3l1+XtSgY0ohgKod5btPqg0gvffu/QyiSRiFexaPzD241GXZLCxzKcrEB7DXO+H8fNQfBAyh9Rfqf4Ef6gnzMvHIDAAASxWSeVW8iy9nHPOfdgLHTzNMMB61MBQxAFA3a/1nyA1NnAamKUt5+DkEgDeuw0BYBhMLJAcgMrizjlwIQQJHaaBHM5EMLBYHUJYIg9sgMuARHUqXJkFh4b8jRJzYWPIIg4OmJASWfAzY0wqlVLyjJyoWEqhrWRsCFEyLqMw866VbhBD4eLSEZMkgQGEk8JWIBQ7YLqEBKAeoKpPF2kkZw4MYHTSYqKBxCD4aMQ0erLy40LBrQxrsXgfBM43AtrhDA4hxYJC4ZwaJsDonqOWtEgwCQlQKTHGrWEccIA1UdhgKAKpsm5P1MwO+0sSluHvh1ZxXU7SlKqf1DxzivG3waclNOaU1BYPkiRCAFlGY6BgIHf4fS0BewRBHTuHsgZ8EDjEoGP4DgQNjpcaxFh0zyEWEHeIcRvCePJIORQmz1jQHaV+GopNmDoHioE8xSBSqSIgggGAH1w4QjGfENW05ZzYOEvsbAeSEheQMFozC/CnmZxjulL2oEkiXG8Lzfm65Jb9IsLM7EzyECzMdj+aAEA/zqFhFtA4JV7EHEgF3cW2U2xaletyDc5x5kpECnALkIQTB8GCK4QU5AKQlj6MQagJlWjrL2OqSACgmAwHwKAV6iJyonkFnIWSMr+4AHlsSqsarXFKHQAC+nBM5dmYIaPAoBtWXyNAa/uABxTK0qzVwJHk/b01rM5/M3BeHE5rnVj1dYa2SSEyKOotS6/VAaYBGHUnULSIbfUpWINa4JAEzgNCEPYONOrNRJq8sEDV6gOhavjdm6IubjWsALUWrN5gc0ATtRgGAhbM2Wr0LW4IHr7yVubS6xNpaAJBuCE2n11bW19oYtGzSEAh1OpHYmvV1q5JpDkgkB1sroDyoKhPcI6pV12kEGmdQKIB6HBVY6me3pOA0P9YdaAaqfz1EHaq89+JbRXpfda+It770hAzbKo0eI8SXt0MaPEH71RQDvQ+1YZ7/1Af/WBr9D7XJ/rwC0ODqHqAIYg9+4IHkUMDHQwMLDkGQjUCfc0QD4BdDCg/VXR+fqUPhv7lbE9w8R0oZile1oH6z6OCPQnA+5HvRVio0aXoSbNBDwpqLYBQmTxXswyxcxsB6BoGxELDj6HuNKY3jAAAgmiVB3LsiadE7ZN1fS4DR0cLzRqGnwCbqvUx5SLzEBIGsPIJkKGzTGh3OhnzeIdxgfELlFgRETMObwAFvzZnouCutdJKAuz3BA0cMoJgohxCqCwJdM4DlPx4Bfm/eAkkChQF5vwEJKUis1HdvEWECQyowDy5wjp35SqQBQAgerzX4KtfOdWFglxVPrE/j/YIf9n7XwDfOHWXkhAjaUPcqbr8aih0khVjQpSr6reVs4LLBAYDcyeC3QcYKjAhggGhbwI4cTUHJPOiNLGh5CejBiUAdQ02qrkZwNAK3lISdiLoUAP24H/YgNa+BDMQdJD+4V6+1rGHfdh+D61NJkeQNR+8E13qQCg7h+na1uYMcWAJ9Ua1c8vUk9+1j38yFqdg9SpEBd2IIYM7hzVxHUs+rs9px8MaXm8co/h6tsDa07GOvx7Tvwl1eci4B9DV6cvOdOGkf4OoyuEeeEcRAmHmP5cQ9ibGvXpO+f1PKZL4XKugYTuN0L/XnPHvv2xNOc4u7z0dFiaqz7VjlhNu4ZPZYGaA9pqcoQ0PrkQ+++sB5KPjRrBkemDEVI1h/fRBSDoGyaKM8sDD6T/k0CMCp9hwX3aWfful8wHniv4DrCR/siOYvbk6Hl4li36DVkW/15ADSJvWpsSt97x39k6g68VOOH37HFbW/2mr3U6f3fcyT5jN3YP1Zu7D5X0X7vlOJ9p9PJ6ifa+D+drn7v0f3f6LL6v8fq/m+r/d+BrDZfT/kCt9f+5zfH+x9uW524ZfksbU/+x+gBvU/+m+oB0sP+fok09Qy+/OjwM+sBEAc+CBcB3eKsZe++mBVex+OBRem++B0B106gwQy+MupBreFBZBm+1BxBQMv0Pg++H0r07+jBc+LBpy3eKi6u7m++PBsireAhdQc+wh7m3BtiVe/BkhRex+biVem+8h2+cKY4y+0Sre6hm+6h3erSUB++uhfU7+tuKBzBxhRhGkqhm+cUCUwUy+1hgUthx+9hiUo+HeTubgvsMGqGXu3aCojEoAPERMgsm6oafqhOv2vq9AWgCQqavuqqgRcc+UF6M6La4RKRio+a8RwEiRQsnu6RYR5OERtcRgtwBwWRQRSReRoRKUaRoRXY8oZip6AR2RwRyR1RbWhu+RMgck7CLM5RORIRxa5ykOvqJR7cncbguu3ALRlRRRqRhR+RSIO8DhSUv60xFRUK+RNRCxoRSxAULhYezRGxsOQxBuIxtc9sjkaxCRrRVRpxtRvqlxhx6xAxkC9xOxjxDkP+RxrxpOpx1uoRURJyyqu6NxSRfxI6AJkRWyO6NkPxrREJLaUJtcQJ3gsJ0G8J4JcxLqyJo8qJ0AsJyGLxCJ2JfquJiooWqQ/RJJWxO2Cu+RlJme4G1xMxmx7RtOoRVg1JWJtJHJvqVgcJxJPJ7JZxpJJwGAiQjqYJbJ/xWu+R5aZSPOUprJJxkJcpdR5uhh4G060pqpSJ6pvqCpbSzJ3JMpapoupJUgUy5UmJZp+pFpXR1pRg2KccppepOJ6pfAmCQ4EAR6z2KBvGbpbR7xzOv2Xp/IkkZwFwcBgZypxxbxI6tR4ZPpYxBw1gsZtp7pBRoZtQsIDWtuQg/G2cQZiJHpDpakFhEAJweZCQFhhZjcAcJZpJ1WcpPujQ1Z+ZdZRZjZcZvxzZdJnRswSwHZtZMa9ZWcPZmZCZ9pAOTuyk6wqy7u66bmm6SqO6MqTu8K66bgkYZRUpvADaqqWgus9AccLACopQXkaAfgRQjqSqIgYgTIIAx5Xkp5LgF5jgV5N5qg8EB2IAemPRyAvAjW6gDAZ5H5X5RQU4skkp/5tAjg15EAtAyanCGAtAP47UjgtApQSFOFygQgtACAsItAW5sAO5dwtAR20E2F/IoiJFMAhFSA2FzgtAr0jIhFxFOAqytAWAXk8USApAtA9R8UJFTA8FLAfAfAdQ6FmFzFcADFaAyZkkgl1gocDF8ltALAjFuFnmtAil3pkk7AJFmkZ58A5wtAQgLGtAgC9ILMtABe7Fy4tA5AtAtsuojgYlAAmgnDAKQLPNyjLsTAQDwBEtKv2QNurPJTECIBACENXJytyuDu8CwFyJuiFVtm4AOZonJKqvaM6FaGSEbteAVbNIqS1MyAVdapJEfB8rzDlY6nlRVSVRYNEvlSVVPmVcVVaNasVJIC+QgG+eeZeVbN+U4EwBgOoChNkNwAeQAPr9WDUQUjVQUzV2Y1qcAoRIhGDe6KCESZZPmbXbWcC/kHWKDbnGIHC0BIhDiXVRqCCwrQVqSSCqVIVqqvRALBC0AXCwhSoWVWwyWlDMW4W8buxeyNDYUIC0AlQ8CvSUWsCwDGWEWYTQCUXHY8UEUIjcU4W0CHWCUnANHaXGVsIuAuZA3WVcgyZlT2WCCOUEUdCuXuVeUJx+XpQBX4WSAhWHnhVM41AlTRWchxUcpcrlU1bZX2aNWtAEjtUgCtW4itCkhWgdUNJGjEgPbQU1XqBMB1Xi044vBS0FVFX8Ty0G3z6dUq2+jDA9XTWHWqAeUTVTUc1zU22aJrWtpurLGqqfpQAdB7HxT2YnXPXga0D02+2+SPWwUvW0AeYo0h3LG0DZRMXhCXagVKC0DGzqWJ0sU9jqAKgEUIRhZGVARiUJ11a0B5SfXICEVYAyhny/UYWlCXBk0wATH2os3cBs1BXbwBSqA6CpXBmJmdJATqZJWRVHaaAxWC0JUi3TYzX1WgBDLqikH4CDCcB1DRkwTRgsDQAIAq1W2SBe0+0e1jX23TX+SzUH2h1YQu3glO72EPDRy7oL0ajfaPmSBGChwai0ChbxDnCqD3n7WSBP1L3h3PVqXIWaA/1+Dx28AlAMXY1GCNQADkDFEZM4LMRlggn1CdyFXkHhYlggll9QxlJWSFWSvAZNWSuoxU0DpBHFqN0Ebd2UbggVUwXdft99UqPdKVy9pZ2ZvNUV49AtwQ8VwtTIots99mkBSp4EhVh04uDMMjwwU+pqijQwVVUkLAtVzykjf+goBycj4CRo+jjVqjvaMt01QDoQx9k1p93kAg0cs1ljs8VsN9q95w9Ukur9BAUZAYtASc7Uf9u1D5f5a99UIDBAL1yk0D2AvjGyyWUAANWF8TiNWlsMuskYIQ9lqIdlqdxN3KODWKYy8qzFrgMlkY8dBwhEf1aAENTd8Nvl/lzD7NBAd9BwnDyVfdBGvJPNU4AjYWQjIjiVBuYtqqH+PDsjBh5VqjquiiGuqGgwlt6tmjmt2tozrOsM4zSjptyt3osjYhzQCzajsS01oTVw1jDtLTdjbTs1pzEg19Mc1qW9XkL9f5em29wQK4YgCQadtdbmYVW6e1Xjz529qgkcEdzgUTxwXsP4tAiW1lWgBFrA8URFsIDFmDZdmDi5SNYlRFml41zyLpsklFkNnwYlllNTwQyAiDYl+wkAtTf4RMBFDkVs+DVmWT8Ai6k6jDHdrDrTD9XDfdHQ0YIp6cvTY9/TsVwjQtQz4jPAc9DBn07gCtWzstIqsjxO8zZI6jGtWt2jazirGIyrooqr+jGrAwWrxzfVIL5ztjXA9jTA811rq1N9jzRy8Tqq1UqCgu/9QLnrkAP5QLem6gPE+C0AcctACY/r4TIAqlGlfAfM0A8IoFZ5OiFTidwETFocN5AAtG2QRcnjoMZandjRgNo9ZTWROmJfCE8OhUhdg5suvdy0053XE1sqoCK50nzYI5K4M9PbtsxoPBAAYNAEYGfHOEeW6223oBQOnkDvgNmzI4bXgAu8qxTnq46pwWBG0IrT3pqngAZEa6VTs0KGq4s9rDq6sxu4wUaNu/o+jvu0KDu5MxxKe0c+Y5IH63c6YuNTY31ZO8CbNZ+8467XOqpPU6qrNaSNOgHQQEG7MlpUYooJo3IKC/JWtLGt0KQDFJcpw8kUfIZuCCAF/EIPKJcH1LQLzOcHHHGH0ZwPhyzBc6YiR+pOtC1E9oO02iAChFpOxyehmkR2rrIq3D8LuvG7in2BYNVXUMpM0O9FJSlOQHvQQJB8QIWja4A/DbNSp2p0KZsUdlMNwhTUAi2f23zA+iPV2xK5PaIyPSKdbrNSKtB0C1EVBFAMEMg2nfDah5y7GpQL0G8MkI8LhxBCgoR8JAcPUODIIFdbJGh6OF+/R25ox9lCBLYoIKoJnP6Zx8R7M/hLx2OPx1/DIcJ64KJwmxiOQLaFJ/ckyEGDMpK86EpyAA56p7bT+4x4ulAFp457PCqYzHwAZ6vUZzJFlT3jhhZ30xPVK1PWIzPXZ3KbNayE53+cJCgK5XfOtP8yVOh0yBSEWLO2TA6nkYl4RwYPyDAOtNF+KXwFZgl6F0gIx8EloJd3lwOyepx7bLoxl7JP6fx/WiV7h6AGJ+4ASOrdJ7t3kUdg11Fk14t61+p4dpp3Dzp7qf14N7UMN7JsM2N+Z9j5Z1N727N/2/Nw6bNYMMt0+fbOXUhbYB0L5t5zt/gGaJ0Ad8wEd3R/d5IAANLtRYLPIUfKDxv8i0cgAncPfTW4Tbruz/OZcceB3yN5j5cQD8dGDrN/BgeleqrA9gTy1g81dGiGSqTyfZCgaWvKfk9tcn0acHBacW/pR9dyfo82VY/iNmcmdvz48DPSt9tvwk/0mzWWgU+SD0C2wUfMBwAM/xdM8UDRg4fs+i+c8EBdgIBgDtSV0dzYKNZscJ8Efi+SClup9LbffHpjiccdpbjF+/eSDloC4A9lfidGi6R68yfegs/1e6pmO9XKeB+W+/uI828B/w+6dcxO+Y/u81Bu+jee89ve9E+++ymk/3ZB8ECq9yATJiuM9RZUSs+4fRhi+McF9p+vdi/V8p9H9p0rjThMNfuy/vdv1q+ve38FfV/IF19a/lcG+SdSTg/PgiZQ8pSm932ynJfr3w65I8QB9veMo7wMRj9Ruk/CbuKwJ6z9bOC/f3h0BFQgDPGf5QgEKGPBp0GQ7UeGnAAj4b8o+eAXoFRBExx9mgHPXPox0l589/mJ/AgDzyl789eYUAIXmVEr5y8CANqWXEr3472waEGvQHmoA/7ehugAXari31sC2A/+xvZ8LD3QGCoh+dtPvkDCR4qCIBw/NHjAJkzj9qQ43PHpNy94zcUB5pNAW0F6CtcsBT5JYi8loAUQ8QkfSdEYyw7Yc8obPGgTnwY7TUUukXGcMf0T4gBwuqXKLkxSPRxc3BSvTjiYEryK83uz/JPq/1EH18lWfKZvjBDQzt9sgQrZQdYLUHtcLGWgwoSjwd5G9R+BguAcYPEbT9rOMrObqgM6KQdyA4EZfiABOB8APoldE4HIC5TrRXBsacCDO0C6Hdl6tAvwZICe4XcghqgZgZYHO4vdaA13W7jwLv4EAcuqiR/j90Hb8dy0hoNIe/wb6oYIoWQg3raH/55DtMQA5rgMHaGgCShA/e4UP1R7QCBE1QkevAJMGICzBNnbHn7xaFCs8QDwuwZIHthcBaAEUSrkML0akBMhYw7wXgD373d6BvPS4M8nmEhDWBjAgXpwNsorlYhkgTIoIPBF0I3+jqbXvxG6AxQZBgofcEb2h4UhlBxIB4Qj00ED9gRbI3Qe8MM6fDse3wuoaYJn7mCARzQ61LNRFCgiQcQLFUChFoCEArM0ZeSrCPcEmgd+DqALvv2mqH8i+kwlcknzP5LYL+mfa/usNL6SAthvBc0cr0tHFcjhlIiQUKAkjf99ewmSjFcIN6w8pRRQq3v3y66SjVOrwioTMiqHGcahuPIUb8JFH/DxGgIiUbTwMi2CZRf5E4AAC1aAemVML1BIGj1N+dPKgJRmoF4dUR01SqKR1Y53dc+lo5jmRzcAC8qOEAGjoSKSFTp7+BrG0fsN1oOigeEg7oKSHOGSCYono9sLD0THcj1BYA54YZG5FvDKh+g8MV8NqEz16h03WMU0MsFAiQRNgjoWd28iENVR3oLoN0DyLFjjupYjmhFzS7BDqxBAMIYEOi5RCfON/XYRsJAD/dSRd4t8FTh7HiCThkUKkOex/62QQRjIhTsoO3G+iNBnXLTsaA6A7jeuUA+cR8MXECjlx/bVcYTwsEzkWhtPdoMmLxxAtCQFHIQH4EGGkC3BR4noJ4KC4OoURdAnUUaPV6+CDRIAZPoX3T6X8s+L4kvm2IIDxDDGn4rjjxw5FiCqRqGdUUBLdGGRAJI4unmOPQE9d2RMEyDopODFITQxC4kbkuMjErjhRDQn3jUHjGcAVOpkAiTB3/KHiCxLIDUZum1HTClhcw/Uad0clXd+AawokZsPtGtihBX3X8eJNJC0jXRsgyWmBOyDMizedwykDoMnFPCAxpIMyeUI0n6ctJLvGeoKL0nRiDJc/IyeKJMnHhqAPfMEXwIAAamY7BF5HEBcov223MgdZIC7Fj6JUwggOWJY485nJ5UAThWPI6UdMETY7gZ5LYmals+T/W0Sv2vb+SJB7QPInSIowngRximW4bNQKk99lJpQwqepL7KaSUJ2ktCbpIwn6S1xjQ4nnlLuEURMBKYp8kYBQjGBg6AwXoNmysldAixXg3DueIYmSAGBGIpgdiPRHS88RXAkXqNM4419HgnYyQPwOAaiT0hFXdAYOOPABcRx4mSKZB3OlQSpx8UtGUlK2kpSdpaU0zuhI96HSsJYozcRKOJAXTCJf5KQGVPC4mVcxtUyiQWOLC2TcQHUtEWwJ+m3iQAOI76QDIJHMTgZdonXODJSFzQv2i6MSX2P0jwy8QiMxQUeNh4Uz0ZcU23lLWxk0lcZfI1Ca70Jn8MspR0wydzXs5CtjQ5koFl0J6FMU0I04J6UWBonjDkR7M/wVeIiFYjuZ9468TFw5aM9BpH4nycSM1STT/xhvKSbIOICXCFZgArvs11NlSjHh1vAMXHM2mayBuqUwwTjwzmYTkBpMnCRKPQGUyLJzcGpkYniB2yqBr0zUc7Pz5MSbxfRQ0RxKYoZ8r+iVQaarxhiCzXxyQkAO3LZzBzAwvQGacFNq5wzchjXFGQXJVmJzYJ/YFOTyS1lDd+Rus/aUTINkky4xp01oUtxeZPk9M5chqZXP4jVzgqrspySxLC6nzHxsXZ8TaLiEJDRZ74zKBSN7EnCEpg4ksJHOh7ySUZAwbeWtOeHkA/5PI5CdrN2nLys5xMnORvLJn5SgxHQzyhmNLkMzohwwwsLaDPHHyQAX06Xu7Prk8y/p7AwXgLJ2G8TOOkMqxgHM2GCcNc/ciroKnfmvAwpu9CeXAoTn+jYJrCyATjLTl4yM5GUg6WvKgUbi85JktofHOKkgBPuQgNwEgA87GwrJhYSKKzPenNS7Qtc3BaxPYnn9m53E2+ZIAEmF4H5HmBXs/L/HuBja780YEwv3ZKyzZOnWKdPLJ52LEJ3CsMWAvSl6yxW/NGMcdPn4wKzpkUc2X+SMBqoBgarCgAAGpjwlXYkAop6CsytRF4ggDMJe4aKXJz3IISsPcmuk25E0yhUNMqTlJaFy9EVAwtkkKyOg3QMcbYECX2LihjiuQbUpcWpy3F+Mt+PwtXneLsp2Essv71CjiLLp3PCSm4BXByKvOFE1BfCJem0S7JSStRY3LSWdStFxonRWaMGnCC2AQk9uUrmKW4ghUg44UNGDkmd9pqDnVWnUr9EciAx/SueXpx4WgK2lE/TxaPS6WGycpxshbpUu3YdC9MZUnsGwmeQ8AbuyCm+e2CLCATGpmCgIdeMWWSBPZEQ72Sgp4lZcX+hS9qfku2W4BdlnQIebCGAm6R5pCsxaTHOWm6QlJ37S5SpK+Xkq5x20h5XwueXZzRR0CkRXcOPADKqZT5KQGqjD7YoQV+Y1oFQAhWHy2Z58vPgQF1HMSFhyyziaaNbmtiPufk/Jdxwlkidjh4kHIbNNxA2DrFyMpabTyFRTz2Fqkw1RrPnn3LF5OsjxSvP1mvL15wi3pbhIojSjOVkgKQCcBQAoQjAwdYgPiCsmCrjwyizBZKrrmaLa5JoluSNK7l8SQAA6B+QcOeC7LiQgErVYcusVChqlJ4o1Vcq05yCs1Zqu5a0oZU2qvF3bbpbnMdX5zSwFvCRYQF5QUghKQFMcChwmWChBVDIxEW9MwWtS6xVYvBcR26n1jep1HAaQqrhXfjDh+SjZaYvEk0iv+eKt0SeMh4KyIpS0wyL0Dt4UroJWg6tbcpH7pyIxECwRcyodVklPllSoYB0KQiEofVhIf1eaFPEiqmpSXRiQso6mn9G5Ea3RYNITXxrhpqqzXo6JOGWgXRC6lvvuAUFfymMJKung2AuXbrORF6vdXoN4WHqp+kCk9SdP8XLT/OUHHeZID3mtrG+VAWPiKpUUvrPpBCrmXgt5n/SOBgMlsULPGkdihJ063ZbpHnX4rqARyipScskA4b+x2aqlbhuQ28jLV7igmSWpeVlq3lPSs9YvxrWDKCAI4JivUUeCyKGK8iojZINICjyMFYqxjj2srGwqqFg6pCsOv6lAzo1ZCgQRiof4zqJBxISjFqsq6fyABsPbjUJvAGbraVC8jHkvOtVHq7VQirDayuWkuqLJ2bEsAAAahWfQewNpsqWkA5BrMmKPZIIDYLMR76lgVRv5nC9GN1m9sX3PyWgyzm0M9VRiApClhBxWa9NXxuU508vNiG0TSAvE2PKjBUmpleuNC2Vr8p5AHrhIsI15i6pmHXlKzNghzKQ1JmtieGtWXyqmNBSydaNMK7ULXuksmGcvX2VhzshkG3VIpwnn9amtScw7QWv3WoadJQWmTfap63yb/ecgiiEEsp7B0aR2bGpVZMw7cag1BmssbWOM3ZaupbUodcgD6nNjO5pCskSIJK2pDytQGjVSmuHn5hdt2QYlacvu1AKHFxqtHS1rpVtbi1l2qzrJorW3aWhFIc1h0NtgGBaAfKDoNm1iWJbMOpkBJZgsy3UbWJtGwhfiPy1g6UV/E++axvJG7LqAA47bc6CFDpr9tS00nZuox05qA+ZO5peaqLVoaEBwWzDX4rC1CgWgj2gjWqiQqGQTx5AR6fTvhHCqZl3hb7ZePCFnyFh8KzJU+N9ljqCAn3IAsir2HgilV62irfxE1UI7bIocuSbYGUFyCYp9S41Zrp0G+aLV/mq1ZJvx1IC1duU7DbgIi1AsbU4MeOLQEKmbBjd0yx2eRuQCPdXJoa9JbMLck3ccljugpbXyElWihOuyikCvRF3IjCp6aqpRPNp4TjQ9su5Pdjr83O88d6G49d1vV29bmuu6jocJGEiZ66dw2pmZQEpBfb0t7dK3el3+226r5PsqPusqVXLb2xOymHS/PcCFTQNwE8gJ9rHkw8UZ4+thbLuv1cKWlB6i7YPtV3D7E9ec61P6HBjw0pg89HgNbDvJBMAGh2P/VfVdUr8QDoLGCm/RAOUVQ43QzSuG2xqpAMmckTStglhbHkdYsBuAPAfRZysxK2NYEKgdxZQtBK3RG7vWJwpstlImUVZOoAIpf6mAQQdCulkcBGUcKTLcNvICF5rQxKjdWYMwfRaN0AQAKWAEZWwY4AoaLgYIPQabZNjmmdoVnN/vbYhlbVV2kLcVjVWw6+wBy8XWu3laNUTIJtDVoJp3absXgNg7qksy0YGHdaUWS0DuxMOHtRQ5h2yJYbVq3DLY1sdkZ/vaiOMID9zJICgn9ajpRecgGjt60ANAtKGERgNn+UKS6h5VYLMkVYhRpzRKKIBmAEZQSMRG0W4bH5FAyQM6AMmCTEhnQwXp8B0KBwDRnHBUrOACKtLJCqW3Dba8SmTFLw1KkLqYQEDSFeAGRLgD5l0w9ByitC2gByGWG+fJQwcCaDc1RW0mgndds0OAbD9FXQcYSq/mB6RmjqagvgAigm0pG5VQkNLWfZGhX2b7aqss11bysdj5As46KAOPXhTGWzE463ysO3CYj8qmXb4YdYfHs+f+nksEa4RrsoAkAE5DtXCDBMny/sUE9nwskcCYTNUqAxExYrwnmA9YjSlpX9DBBs28AXJJ9QqOJMpDY4RQKjUlZGULgkAJiu1AYrdZA4eLbdEXVkiCUEI+wPg2JUkwKgM6UhsDVEFEq0AdA8UBSpUbhaN1Wj6LK4Wgc+oYmvqyEbA5UdTrxsMIEDJCuSwSawgggbPRJuMYUPfHpjKhget+C62+Kagnu7Q0zxq11b9D9mfAje2cMtVhhEck2mMyPENgPDFxmw9aaOiGLvQQuk2rLXAh2noYbOF05VUinQm0TX7L40odmrhmwTgR6YICfWozAJg2iCIPJXcAfYojf5AQ2fDTNRw4jT5VEsweEh5msV2sJ6siaQpFnzNpZhJtKfwPDHLgFKcaoLC6NiUBAncDisRXrpYUtKBQPKGOE+r+guQdDbXkZTpGSnSTIQQSihD4Not4K7lXNugYqOF1aTiNbwA2joYTA5AjJtFugfwPanO6up4mLMc7YYbX9uyoVvDOHEKy9V+B3KnYYFQm0ocECGpdLX2Z+6Sq2rS45e1ACNUnzO7F8/mHfOraXgTxt9jHJzNsI1M+Znw9Gagu1ngOAJwzCEbMbZQKDx8OA+CcBZ/l0LR0V+FheOpAtwuGF0Cu/RwOQGKzMbFExJXwtp04D9FTShG2HnZtnAIYAiiuZ4rdHsGy6cptzAVBMWMImkLCj2dEoec7g7FCYPKAEuJYxwdRpo0NiYqUt70ZRjSkgehZTngg45xaNGUKMsV1TsVJgB5x0Duw0Ar0ByEoYIrKWBKjTeQ0eamMnnumcxo00bIP1mKKu8Onk+RGsUS77zjqB4yUvfPFc9lxx/9UaAcNvH3TKzddqAACvIi7jriYKxxpNovHDIX5sM7RYrQVGb93xmM5lcwsUX4zoqeIKhfnQLp4acYYpAAe3RNEZau1HehIuuy5pmYLY+xiwE44AAdHuZDTmS1sejGDMSj+FZOUVYqm58GCJWxp1AK6xFVU7QBlAsZ6gQgNs+hWGvksoaVLMSmeXBjKRSAu1xi6SzkrqUGKMoBEAQZYo4Boy60c4IJRtQsA6o5lRSnizqYHAsj1TFg8phWulM1rf+2hpS0JNQs6Gs1+oD+GkiNRPquKY4IDXRazXMo5epCo3SQOlFSjLdDAG3Tasq80AE2OoPQfYMsU3q0AD6lkwaJEsWWtTNa+KbCwwA8AtALq55X+qNHompDS6o3Vms7JeT6LeUXiprYHXZr4MPFYxZgDQssakNaLlNc0o/UUaWlGFFAz5tIVcWsN27lxZdyrJBKX8BNq9CMprWGbpdD4GTRFi10msONZistTJb/U/wYyYIKQC6uqA2r0GEAF1fIPkcSoElLEEcnMriBJzpdBouKm4paB+TgILCn1NcD1BHBft+UebdoYM3xrIQQumfE0ZRNcWvNvWJDaZboHZrkkSNW5lqbiAjK8osQDgwgD2NMmqdCkyqf+qCBaTKNBlGOCesoh8E1mK2yABtsHAWArke2yADps1MMK5TBmyZYIrV2iWqdbgyEn5Ps2GK4dxMF9S9ZvXsaFlr/QRVxbAJYbdlIa9JTWtc2U6LFNm+JQYohUkKFNthAMeiSMX6gQ8UqIREEqd2EmCt8Nt3dAqYI+Y1lSk19TPLeA2jPFKSDJCftLBsKulNa3HHrulAMG6Bv29Lc0oMVZrULdULIhrvp6GKolnO0bbvuwHH7a17GoskRaQ04wkmeIJCMpb+h4ILMRu83f5AeR27ndspqBU644sNbTF4G2XQGO8mi6iNelGNHYpwtZrA8dQLncodZNFkbnapgk3qA8gRrN60S9jQVDuwfwWQdilrcuxfVFLmTYIMBG4qs3dKCNsBo1C9awB97y53gHLeIolsy2t2PBMwbiAEljg65sBmUdxYlsPk2j5SNTakAHABL9RYEsQ9ZrNtWGsiaAJOo7bfgY58KZ5v/KsR3X+oIYIJzvVLULGNDE/G7utHBAAhIwVVFx24/khKbpALjoSm22jZFc44mt/6jxdirwVH7GAAOxGyydpOUacjulvKFTC3dPq6LSaxFyxZrXkHZCcVEhUUqV1M4zAWgAAAp+DvCP2jAAACUl9wp9FwazoHSbaWGFlIC7CMW4wAYRp/uei5Q90D7URihU/RjZsqnUAHE1JXUj5k9KSlJkwrqFgBd/juRQCdfwmMEAfH/IRNU5c6QxyuU6MfZzfs66VXwnYAd5wqE+fRP49r+inJfJtJgHQhYLxFTfOjZ6Z7KmERwEEEcFi9/rsLcDDXZpppG+YJKOBixWQBEtRT5XIyqW1QN1Z8svJ7GmdwyVl7bu8lzg/DcnQvJ0wVjiAGyyxTxt4AdldFtJB4i4vWXCTIa7cFIbKAa7Sgfh8I3pPSWsazgNlp9n9BMmGAcdhEAY8OtGUhrpTDg12artBI5ApNEl0wYXvEV9KEZQe1NeFviv5zzR/eyhaQpxhxA0VQ86wxP7Uh4nBompaeYCcuyV9r3GXd87CfTxoVbsoF38ONM5pqX4LiyVS9L1MVVhFe5I5Wfjqsky60hlGho9tfHAUqqdz6tjRRf6vYW3kZVxXSYrxRC70rrFn7c1fVHBKaqSSs8mLuQ0GUjIXGxAAaPyPoumjUoFUl6jRdqOuldFiixRo6BLgwx41z6V3vIBm1V1qBj0WZjAQiWTMPYOA7JpWkbg9yQigkyQjKZ/mdzhQ8657yuvwQtPD1zUBjkpKz5vriq/65DBnvV98x4F6G9Vxmb8NpmwHeZuB0jqRe8b6i0hQHWvuGxIOsqFA2lMVkY0SFL2Kn3Mo3Bo0TAJawU0xtbnymQ4FTUPHXMg1bg/gLN5pXUAYOGKXsBALhHMrFt9LmEOd3S7Rc3kq2ygMmrkChsgPb7TwEKsLbQOEMkKgr2A9Ub5dsscA6e1Fo68kB7usUZHcEJUuPeRSjN6Ki9wcB+fTxxP2fFyzlOtQs7n3+CzmXltHVfvY2DFYJEZnrHpUCGO9l+2Z2Qrlck2hFWGtjWweZvJzGlS4Edgafo0CmDWTo/9cjA7pamnbqJmx54uKUeDQNNlkNgbSCUOUBlEm3mTxSfUeXCIbZwIFcx0tln9yNV7JSltSf97pbOzFubBTQhkAfHggAJ4Pf45VDkUpTyE+k8hhivd7kN4ZI/3qKJFMqpuVxLWXlnwWSFOr1+uv6MXRbFNQQPKjQ7x0lUmTMXol6hsynLHuLWGKmCwMp80jLFSz1yCEBkeiKMi8BmFh4prmSGNJ4iqk2QDqmEgTAIymlnieFGsHil2FpVLJobhnkC3sL3WcqxTfJUXJ1m7RSeBGVLgQITG9xXsJK3SCvtzZ2dTIoXUEmSdURDl7FWLx8vWZbYp65rlvqt1GM0r2ACm3BufFVX6kO9XXjKf8bUAQm6JE1qUXwWGlFFxpSGReQfwGdxGhgBboX3aALJ7EEhR1vlONKkjszhgxfteARrNXUc+VzM8E3/wnJsmoK+YOzfYPNBgh4ECZY5Y6W2NSuwkxcpi89z2bmVwk0QZSV1gQgRBpRWzGcJfKUdFiqO8jinfyGSdkjprUwdk1MfhN6o7QFLqwweiij7NyLewpCApKk5kcFUyDsGuQfeXoTwV4NMnvpqU3rH+j5K9XuwAAfj6t5xf2hvIcZzs4DVd3QAOrMpQDcqSWNg/OjyYqCAOejSKZwjnyfuq3k2Uh7jH0jqb25n9pyw3yu9RAEMcFuu2f0/H9LPwsWoerJ/Cz5DP435zJyREYUgeStc/r/iphinAFYIyWBxt+G/g/0Xnh+9o9+vDSRUAKX/PTW51T/4KADUpn99+S/7f2nB24QDilJS8/rfzzXKttNVklxXdAv9pzmR1/LjezBf9FIxtyAZ//v2X6P9uM00HZZ/4v7lKp5r/rtA/+P/v8Y8fEhBJP/WnBjx6iMVBDtQA+/wygsoY4DXgYrMfwH97/ewl/85/JAJf9rcZ9mjooADEgwCv/B0mwDwMIkjv9HcANEAdHAY2A0wLMCgPowUoYABoDE/GzFDhSCOgJMxzieYhzJFKURiXJYANzHQBRDVcl2p1ySXETZYidsjzIPWJExABOQKADxVPqcQIIoRyAslqZJDGRhHMMoCSmgBlrZAGGMZcU51qYBgAAFJvuIcAn8hyQiA/9HUL92AClAitjrI/GM5yJpTKIllmsLAji3YgHPDoCMCBnXumcpiAUZ1MCOia1CkhYQbsj2BbYTPyeApAqiw9RGUBQPsCxydlgEwIWWpiGRH7aUmTc6KWzzcAhwOhmEd2TKIOeczyYIPyA0APMlRIrA0ABsDyg+QIYAtkOwM7Ikgku0hpHrVOgVosgp4Azou4PINxZBgNuhKCJ/YBG6JdYH/Sa9T+cNmzYAAPloAbUfkHRQuABihrcWYbXz0wsbCunEQs7YtgzYpDQCgIoi6JbBQZpzIIIn9QIMIOWIXCcINvJqg6QLQgC/YuxYoo0SsmgZiDYikvpaAFwmSDs4FVADQzA1/zYYbCJKDwCv3NYLJ8thO618ZwuCtAmJaAbNijpWgK6jjoXCE4P+CF/FUGUA4gGINgpQQzJgMwG/TKEFhaAAQJwAEmdEKSwJgVZBRC0icViGQsQ0BjxQejK30fsZGVygvBXcKBmNQmXRkBgAAAQipCm/S91yQmrBqxuCqLFzj6R8XBigiUcaeq00p1g/NwSZU/MJ2wpTsBuD+C0iKzF3QQQ+UOuxzqXcgSZrqd5zToS6FGn6ddQ/731DYQmYIqwG0QIN+DSg2KEEBOTOkNg55QvEM6dJUK6idCZeaQwn84rUUNgo4gxkE+pnSaigTVamZ3TAIXxdUIWJ1sCAE3dhEAMPpDqfOcBRoe4Bc319qTJ4G7NnAJinSoggTKl8DzyedzRo4WK1xVCsAMZ35CcyYIAwBbMP7xdDMndGGydgSE+wyDjgHiGVNVnfEzmcbLe0In84wxbHBAkwggAodsGRqDjDomDKmLsq4Eim7N0wac0bVJgmYLmCJKUOEWDaAZYL+YBg30NRCxUCVEFgYAfjHswQQ9vwJDFABigZscAaSl6c9vN62QdGQMSgKBFQZjzetLfaUmGMA/MmiCA6KeoBCABvZQB3CYwnMjjgIGNzGC8TXLUOkC67JgMcCQvBiikcp7OllAimsBizhY9faV0yggIh0IawuQUdlhhggGCOsxGwtUDZQQwvBGUgJvEkyIjSgbXzHDouRCIT9rMfky/t0jCd1Y9MKUmzxVLqXFg6w62ZQAiBNg5AD5D+w/4KACYSWq21CyfHAOcp6g4Eh3RqbJUNyQrQ2gHZ0GKejWIVqwzonEBmjIQEiDzyEiNZRMmL+EQohKTKHwp1uc8nktZgx8hQcLbeFyYoynRd20B/wHCiEdH7dFmVd/bRdyRd1IgwDMBRItIjKdNaOAGdI5kKCKot8aRd2NgL+LuDQpKOCb2AQsPaFggd/qVOiHpaGLSiOw5kbCIn8d/Pf0bCcQz6j0wwULJS4AeQzzik9lQ6YK/oi9LJThstIizCh59/cYJYFYqSo1msFnU53gjJzBm1nt8Eee1qYc/M+Fyj/g5SChBBYPTGwQwovFEbDVMF3CcFBgH5gmiLwycxXd0+QlgYAP4HYWAjtI/9RwDXgRsKNJpYKOnAwGKBEPRZMOSqNCdlImqNa85tKNV2jrUICDzISLfC3IsJQawOkDVMML0+o3oitHoscDdXzFN0DOkVGi0iWsNBAxBL9zco6Wa5xRp0gjCnMo5nbyKwouotp0ntHwg3zQpUQLCmUhqxQKIWI82DslUxrEEcJABSIh4Jp5yAAAHolovwMUCVhRIM0gCKUmMaiyrIAA
+An Invitation to Applied Category Theory
-</nowiki>
+	https://quantum.country/
+	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/
+Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.
+Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
+Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).
+Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
+Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].
+rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]
+CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?
+Toffoli gate
+	t k00z = k00z
+	t k01z = k01z
+	t k10z = k10z
+	t k110 = k111
+	t k111 = k110
+Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.
+Uncomputation:
+	kvantové brány sú reverzibilné
+	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
+	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
+	postup:
+		urobíme výpočet
+		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
+		revertneme výpočet
+Hľadanie:
+	začíname v stave 000...
+	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
+	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
+	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet
+Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
+dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
+	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
+dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
+	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]
+Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
+[1 0] = √½(e0 + e1)
+[0 1] = √½(e0 - e1)
+takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
+pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2
+Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
+= b0+b2
+= b1-b3
+= b1+b3
+= b0-b2
+	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
+vývoj kvantového systému v čase
+.
+Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
+Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
+Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
+Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.
+	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
+	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
+	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"
+Vektor "ket" je zvislý.
+Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
+Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".
+Skrátené zápisy
+	[√½  √½] = |+>
+	[√½ -√½] = |->
+Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.
+	   ×  [p]
+          [q]
+	[a b] [ap+bq]
+	[c d] [cp+dq]
+Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
+Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx
+Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
+Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.
+Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
+	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
+	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
+	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
+	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
+aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
+	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
+	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
+	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
+	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
+	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
+	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
+	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]
+Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
+	[...
+.
+X[p q] = [q p]
+X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
+X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>
+Y[p q] = [-qi pi]
+Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
+Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>
+Z[p q] = [p -q]
+Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
+Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>
+H[p q] = [p+q p-q]÷√2
+H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
+H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>
+XX = I
+YY = I
+ZZ = I
+HH = I
+|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq
+.
+H =	[1  1]
+	[1 -1]÷√2
+	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
+	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
+	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
+	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]
+.
+X =	[0 1]
+	[1 0]
+	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
+	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
+	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
+	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]
+.
+Y =	[0 -i]
+	[i  0]
+.
+Z
+	[1  0]
+	[0 -1]
+	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
+	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
+	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
+	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]
+.
+CNOT - CN, NC
+	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
+	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
+	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
+	[0 0 1 0] [0 1 0 0]
+Toffoli
+	[1 0 0 0 0 0 0 0]
+	[0 1 0 0 0 0 0 0]
+	[0 0 1 0 0 0 0 0]
+	[0 0 0 1 0 0 0 0]
+	[0 0 0 0 1 0 0 0]
+	[0 0 0 0 0 1 0 0]
+	[0 0 0 0 0 0 0 1]
+	[0 0 0 0 0 0 1 0]
+.
+Superhusté kódovanie
+	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig
+Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+--[H]--[C]-
+-------[N]-
+[1] [√½] [√½]
+[0] [ 0] [ 0]
+[0] [√½] [ 0]
+[0] [ 0] [√½]
+Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
+   01   10    11
+[√½] [ 0] [ √½] [  0]
+[ 0] [√½] [  0] [-√½]
+[ 0] [√½] [  0] [ √½]
+[√½] [ 0] [-√½] [  0]
+Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
+-----[C]--[H]
+-----[N]-----
+[√½] [√½] [1] = 00
+[ 0] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [ 0] [0]
+[√½] [√½] [1] = 01
+[√½] [ 0] [0]
+[ 0] [√½] [0]
+[ √½] [ √½] [0]
+[  0] [  0] [0]
+[  0] [-√½] [1] = 10
+[-√½] [  0] [0]
+[  0] [  0] [ 0]
+[-√½] [-√½] [ 0]
+[ √½] [  0] [ 0]
+[  0] [ √½] [-1] = 11
+.
+Alica má tajný qubit [a b].
+Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
+[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111
+see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE
+	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
+	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
+	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
+	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
+	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie
+c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ
+.
+Motivácia:
+- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
+- 2D súradnice
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
+- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse
+Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
+Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
+a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
+a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
+a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
+a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
+/ a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i
+geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
+absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
+r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
+r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
+mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
+sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
+sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
+skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
+každé číslo má tri tretie odmocniny
+sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
+skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1
+vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
+	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
+vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi
+umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
+reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu
+čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
+	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
+	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
+	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
+z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)
+ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
+ln(-1)=180i ale aj -180i
+Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
+ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
+a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
+ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i
+a^x = e^ln(a)*x
+	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie
+Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
+Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
+Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
+Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.
+.
+.