Zobrazenie zdroja stránky Užívateľ:Viliam

https://arxiv.org/pdf/1803.05316.pdf
An Invitation to Applied Category Theory


	https://quantum.country/
	https://michaelnielsen.org/blog/quantum-computing-for-the-determined/

Slovo "superpozícia" znamená lineárna kombinácia stavov.



Ak máme hodnotu "a*k0 + b*k1", nevieme zistiť čísla "a" a "b".
Vieme však s pravdepodobnosťou "|a*a|" dostať hodnotu 0 (čím sa hodnota zmení na k0), a s pravdepodobnosťou "|b*b|" hodnotu 1 (čím sa hodnota zmení na k1).

Kvantová brána je komplexná matica 2×2, ktorá zachováva jednotkovú dĺžku vektorov.
Aby to platilo, musí byť [[a b] [c d]] × [[a' c'][b' d']] = [[1 0] [0 1]].

rotácia = [[cos q -sin q] [sin q cos q]]


CNOT × [|+> |->] = [|-> |->]  = ako je to možné?


Toffoli gate
	t k00z = k00z
	t k01z = k01z
	t k10z = k10z
	t k110 = k111
	t k111 = k110

Toffoli gate sa dá poskladať z CNOT a jednoqubitových brán, konkrétne z [[1 0][0 0.7+0.7i]] a jeho daggeru.


Uncomputation:
	kvantové brány sú reverzibilné
	dajú sa nimi simulovať klasické výpočty, ale potrebujeme pomocné bity, ktoré sa naplnia medzivýpočtami
	ak chceme výpočet opakovať, potrebujeme pomocné bity vyčistiť
	postup:
		urobíme výpočet
		pomocou CNOT skopírujeme výsledok výpočtu do výstupných bitov
		revertneme výpočet

Hľadanie:
	začíname v stave 000...
	aplikujeme H na každý vstupný qubit, dostaneme rovnomerne pokryté všetky možnosti
	klasicky vypočítame, či je riešenie dobré a podľa toho nastavíme "solution bit"
	skopírujeme "solution bit" a revertneme výpočet


Ak máme dva qubity v stave [a, b, c, d] a odmeriame prvý,
dostaneme 0 s pravdepodobnosťou |a|^2 + |b|^2
	druhý qubit je v stave [a / |a|^2 + |b|^2, b / |a|^2 + |b|^2]
dostaneme 1 s pravdepodobnosťou |c|^2 + |d|^2,
	druhý qubit je v stave [c / |c|^2 + |d|^2, b / |c|^2 + |d|^2]

Ak máme dva qubity v stave [a b c d] a odmeriame prvý v bázach e0 = [√½ √½] a e1 = [√½ -√½],
[1 0] = √½(e0 + e1)
[0 1] = √½(e0 - e1)
takže [a, b, c, d] = √½(a+c)[e0 0] + √½(b+d)[e0 1] + √½(a-c)[e1 0] + √½(b-d)[e1 1]
pravdepodobnosť e0 je (a+c)^2+(b+d)^2 /2

Ak máme bázy b0 = 00+11, b1 = 10+01, b2 = 00-11, b3 = 10-01
00 = b0+b2
01 = b1-b3
10 = b1+b3
11 = b0-b2

	https://www.youtube.com/watch?v=NZqRUH1uSlE
vývoj kvantového systému v čase



.


Pri modelovaní kvantového počítača potrebujeme vedieť amplitúdy všetkých možných stavov qubitov.
Počítač s N qubitmi teda reprezentuje vektor s 2^N komplexnými číslami.
Pri vektore nie je podstatné poradie čísel, je to skôr mapa z P(B) do C.
Tradične je poradie stavov pre jeden qubit ["q0=0", "q0=1"], pre dva qubity ["q0=0 q1=0", "q0=0 q1=1", "q0=1 q1=0", "q0=1 q1=1"] čiže [|00> |01> |10> |11>], atď.

	[1 0]  =  |0>  = qubit je (klasicky) vypnutý
	[0 1]  =  |1>  = qubit je (klasicky) zapnutý
	[a b]  =  a|0> + b|1>  = qubit je v superpozícii; "a" a "b" sú komplexné čísla; "|a|^2 + |b|^2 = 1"

Vektor "ket" je zvislý.
Vektor "bra" je vodorovný a komplexné hodnoty majú otočené znamienko pri imaginárnej časti; čiže "<x| = |x>†".
Kedže "x × x* = |x|^2", tak "<x|x> = <x| × |x> = | |x> |^2".

Skrátené zápisy
	[√½  √½] = |+>
	[√½ -√½] = |->


Fyzickú operáciu s qubitmi reprezentuje štvorcová matica komplexných čísel, mapa z P(B)×P(B) do C.

	   ×  [p]
          [q]
	[a b] [ap+bq]
	[c d] [cp+dq]

Intuitívne, stĺpec v matici je východiskový stav, riadok v matici je cieľový stav.
Ak aplikujeme viac operácií, napríklad najprv A, potom B, nakoniec C, výsledok je: C(B(Ax)) = CBAx


Ak je prvý qubit [a b] a druhý [c d], spolu sú [ac ad bc bd].
Čiže ak máme stav [a b c d], kde ad = bc, sú to dva nepreviazané qubity.

Matica [[a b][c d]] aplikovaná na prvý alebo druhý z dvoch qubitov:
	[a 0 b 0]  [a b 0 0]
	[0 a 0 b]  [c d 0 0]
	[c 0 d 0]  [0 0 a b]
	[0 c 0 d]  [0 0 c d]
aplikovaná na prvý, druhý, alebo tretí z troch qubitov:
	[a 0 0 0 b 0 0 0]  [a 0 b 0 0 0 0 0]  [a b 0 0 0 0 0 0]
	[0 a 0 0 0 b 0 0]  [0 a 0 b 0 0 0 0]  [c d 0 0 0 0 0 0]
	[0 0 a 0 0 0 b 0]  [c 0 d 0 0 0 0 0]  [0 0 a b 0 0 0 0]
	[0 0 0 a 0 0 0 b]  [0 c 0 d 0 0 0 0]  [0 0 c d 0 0 0 0]
	[c 0 0 0 d 0 0 0]  [0 0 0 0 a 0 b 0]  [0 0 0 0 a b 0 0]
	[0 c 0 0 0 d 0 0]  [0 0 0 0 0 a 0 b]  [0 0 0 0 c d 0 0]
	[0 0 c 0 0 0 d 0]  [0 0 0 0 c 0 d 0]  [0 0 0 0 0 0 a b]
	[0 0 0 c 0 0 0 d]  [0 0 0 0 0 c 0 d]  [0 0 0 0 0 0 c d]

Matica [[a b c d][e f g h][i j k l][m n o p]] aplikovaná v opačnom poradí:
	[...



.

X[p q] = [q p]
X[1 0] = [0 1]  čiže  X|0> = |1>
X[0 1] = [1 0]  čiže  X|1> = |0>

Y[p q] = [-qi pi]
Y[1 0] = [0  i]  čiže  Y|0> = i|1>
Y[0 1] = [-i 0]  čiže  Y|1> = -i|0>

Z[p q] = [p -q]
Z[1 0] = [1  0]  čiže  Y|0> = |0>
Z[0 1] = [0 -1]  čiže  Y|1> = -|1>

H[p q] = [p+q p-q]÷√2
H[1 0] = [1  1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> + √½|1>
H[0 1] = [1 -1]÷√2  čiže  H|0> = √½|0> - √½|1>

XX = I
YY = I
ZZ = I
HH = I

|H[p q]|^2 = |√½[p+q p-q]|^2 = ½((p+q)^2 + (p-q))^2) = ½(pp + 2pq + qq + pp - 2pq + qq) = pp + qq

.
H =	[1  1]
	[1 -1]÷√2

	[√½  0  √½   0]  [√½  √½  0   0]
	[ 0 √½   0  √½]  [√½ -√½  0   0]
	[√½  0 -√½   0]  [ 0   0 √½  √½]
	[ 0 √½   0 -√½]  [ 0   0 √½ -√½]

.

X =	[0 1]
	[1 0]

	[0 0 1 0]  [0 1 0 0]
	[0 0 0 1]  [1 0 0 0]
	[1 0 0 0]  [0 0 0 1]
	[0 1 0 0]  [0 0 1 0]

.

Y =	[0 -i]
	[i  0]

.
Z
	[1  0]
	[0 -1]

	[1 0  0  0]  [1  0 0  0]
	[0 1  0  0]  [0 -1 0  0]
	[0 0 -1  0]  [0  0 1  0]
	[0 0  0 -1]  [0  0 0 -1]

.

CNOT - CN, NC 
	[1 0 0 0] [1 0 0 0]
	[0 1 0 0] [0 0 0 1]
	[0 0 0 1] [0 0 1 0]
	[0 0 1 0] [0 1 0 0]

Toffoli
	[1 0 0 0 0 0 0 0]
	[0 1 0 0 0 0 0 0]
	[0 0 1 0 0 0 0 0]
	[0 0 0 1 0 0 0 0]
	[0 0 0 0 1 0 0 0]
	[0 0 0 0 0 1 0 0]
	[0 0 0 0 0 0 0 1]
	[0 0 0 0 0 0 1 0]

.


Superhusté kódovanie
	https://www.youtube.com/watch?v=w5rCn593Dig

Vytvoríme dva previazané qubity, jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
 0--[H]--[C]-
 0-------[N]-
[1] [√½] [√½]
[0] [ 0] [ 0]
[0] [√½] [ 0]
[0] [ 0] [√½]

Alica má dva klasické bity, a podľa ich hodnoty urobí so svojím qubitom nasledujúcu operáciu: 00 = I, 01 = X, 10 = Z, 11 = XZ (najprv Z, potom X), výsledok pošle Bobovi
 00   01   10    11
[√½] [ 0] [ √½] [  0]
[ 0] [√½] [  0] [-√½]
[ 0] [√½] [  0] [ √½]
[√½] [ 0] [-√½] [  0]

Bob má dva qubity 00+11, 10+01, 00-11, 10-01 (všetky štyri možnosti sú na seba kolmé), revertne pôvodné previazanie, a odmeria ich.
-----[C]--[H]
-----[N]-----
[√½] [√½] [1] = 00
[ 0] [ 0] [0]
[ 0] [√½] [0]
[√½] [ 0] [0]

[ 0] [ 0] [0]
[√½] [√½] [1] = 01
[√½] [ 0] [0]
[ 0] [√½] [0]

[ √½] [ √½] [0]
[  0] [  0] [0]
[  0] [-√½] [1] = 10
[-√½] [  0] [0]

[  0] [  0] [ 0]
[-√½] [-√½] [ 0]
[ √½] [  0] [ 0]
[  0] [ √½] [-1] = 11

.

Alica má tajný qubit [a b].
Vytvoríme dva previazané qubity [√½ 0 0 √½], jeden pošleme Alici, druhý Bobovi
[a√½ 0 0 a√½ b√½ 0 0 b√½] = a×000 + a×011 + b×100 + b×111

see: https://www.youtube.com/watch?v=3wZ35c3oYUE


	CNOT zo source qubitu na previazaný, Hadamard na source qubit
	odmeriame previazaný qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví X
	odmeriame source qubit; ak je 1, povieme adresátovi, nech na svojom qubite spraví Z
	teraz je adresátov qubit v rovnakom stave, ako bol source qubit na začiatku
	aj keby niekto odpočúal poslané informácie, nič mu to nepovie


c/eJxM0sFuozoUxvGngV0jcwwkLFjklnAHFIjaEALdIGMbajCQgmkLTz-iGmlmaf31_eTFoUTxehgXVw616HXmIrvkBHTuGrZj2HvkwF7nHRGyqHnPR6I4K4j6W00HsP7uVnvbskpmItPBtu3sjQoTwNTYHyoOJiK6cAEBRgcDGYAtwDu8q1iFqoo5FbG4eTD2u49BtYDrQTNRVz-pb2M3zeWkCG13dOh06b4r9Zg0fNTA18D_N25PUfdPotfA__mvBj4duofkimvYV0PLew17fAkNCumSgWyDZljiJLfipl6i65egkK4U5GfZ_jQRZ2H2uoZtjlJ5hfR-vzGZSydI5H9vl9urxeTr_xdfdkkaiPNz-KDPgR00JytazCX2bnPsHedLkm-tK3FY0V-p2Nw8ixHt_CkHp33L3tHb3fzZ59mLuDQnuCQniNejFTXRFHSpublRkltRkuPYuy3R8iVIFq-btZnn5LjtV3YPxEWEK7mz-XyXc9Cj3Xq1X4qqpl14PZ-LYxQ2eyos7H0MHjNfkshJAnzCydhgpIE9ciZGTpWGPQ0s8PXHXBZ06Lq5F2opeE9KyZmrxplvSQpKlBj6QjD34BiA9NH9FFKQTjNROY-7qdWnuWRDR0TvkkmNRNKB8W_Fe139Obl54uMGgGU79gGM3wEAAP__quXX_AZZ

.


Motivácia:
- každý mnohočlen N-tého stupňa má N koreňov
- 2D súradnice
- https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation#Cardano's_formula
- https://en.wikipedia.org/wiki/Steiner_inellipse

Definujme i ako i*i=-1 a predpokladajme, že platie bežné pravidlá matematiky.
Nemôžeme sčítať hrušky s jablkami, preto sa a+bi nedá ďalej zjednodušiť.
a+bi + c+di = (a+c)+(b+d)i
a+bi - c-di = (a-c)+(b-d)i
a+bi * c+di = ac + adi + bci + bdii = (ac+bd)+(ad+bc)i
a+bi / c+di = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i / cc+dd = (ac+bd)/(cc+dd)+(bc-ad)/(cc+dd)i
1 / a+bi = a/(aa+bb) - b/(aa+bb)i

geometrická interpretácia: zoom a otočenie - násobenie 2, delenie 2, násobenie i, delenie i = násobenie -i
absolútna hodnota |a+bi| = sqrt(aa+bb), |cis(u)| = 1, a+bi = r*cis(u)  # u je nejednoznačné na pridanie násobku 360
r*cis(u) * s*cis(v) = (r*s)*cis(u+v)
r*cis(u) / s*cis(v) = (r/s)*cis(u-v)
mimochodom, aj -i je odmocnina z -1; a celkovo každé číslo má dve druhé odmocniny
sqrt(r*cis(u)) = sqrt(r)*cis(u/2) alebo sqrt(r)*cis(pi + u/2)
sqrt(i) = cis(45) = +-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i
skúška správnosti: (+-sqrt(1/2)+-sqrt(1/2)i)^2 = 1/2 -1/2 +2*1/2i = i
každé číslo má tri tretie odmocniny
sqrt(1) = 1 alebo +-cis(120) = -1/2 +-sqrt(3/4)i
skúška správnosti: (-1/2 +- sqrt(3/4)i)^3 = (1/4 - 3/4 -+sqrt(3/4)i) * (-1/2 +- sqrt(3/4)i) = 1/4 -+sqrt(3/4)/2i +-sqrt(3/4)/2i +3/4 = 1

vizualizácia: kladné čísla zelené, záporné červené, i modré, -i žlté; osi čierne
	https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_coloring
vizualizácia kvadratickej rovnice s 2 reálnymi, 1 reálnym, 2 komplexnými koreňmi

umocňovanie na iné ako celé číslo nie je jednoznačne definované, keďže už odmocniny (mocniny na 1/N) sú nejednoznačné
reálna mocnina ako limita racionálnych mocnín... môžeme povedať akurát jej absolútnu hodnotu

čo by to znamenalo "umocniť niečo na i"? pomôže nám Taylorov rad:
	e^x = x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! ...
	cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! ...
	sin(x) = x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! ...
z čoho by vyplývalo e^ix=cis(x)

ln(r*cis(u)) = ln(r)+ui  # nejednoznačné, lebo k u možno pridať násobky 360
ln(-1)=180i ale aj -180i

Taylorov rad pre ln(1) diverguje ak |x-1|>1
ln(x) = (x-1)^1/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 ...
a ešte aj keď konverguje, je citlivý na preusporiadanie prvkov
ln(1+i) = i - i^2/2 + i^3/3 ... = i + 1/2 - i/3 - 1/4 ... = (1/2 - 1/4 + 1/6 ...) + (1 - 1/3 + 1/5 ...)i

a^x = e^ln(a)*x
	ak a je kladné reálne, je to jednoznačné, ale inak nie

Ak berieme aj celé komplexné čísla ako celé čísla, zmení sa nám definícia prvočísla, lebo napríklad 2 = (1+i)(1-i), 5 = (2+i)(2-i)
Násobenie zachováva absolútne hodnoty, takže stačí skúšať delitele s absolútnou hodnotou menšou ako odmocnina absolútnej hodnoty N
Súčin dvoch celých komplexných čísel je prirodzené číslo iba ak je to (a+bi)(a-bi)=aa+bb; keďže modulo 4 aa aj bb sú {0,1}, prvočísla dávajúce zvyšok 3 po delení
Neviem to dokázať, ale komplexné prvočísla sú buď typu 4k+3 alebo a+bi kde aa+bb je prvočíslo nie typu 4k+3.

.


.